Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inelpisys Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelpisys 29544
Description: Pi-systems are closed under pairwise intersections. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ispisys.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
Assertion
Ref Expression
inelpisys ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑂,𝑠   𝑆,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝑃(𝑠)

Proof of Theorem inelpisys
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intprg 4446 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1072 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 inteq 4413 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑥 = {𝐴, 𝐵})
4 eqidd 2611 . . . 4 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → 𝑆 = 𝑆)
53, 4eleq12d 2682 . . 3 (𝑥 = {𝐴, 𝐵} → ( 𝑥𝑆 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆))
6 ispisys.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
76ispisys2 29543 . . . . 5 (𝑆𝑃 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆))
87simprbi 479 . . . 4 (𝑆𝑃 → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
983ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ∀𝑥 ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑥𝑆)
10 prssi 4293 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
11 prex 4836 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} ∈ V
1211elpw 4114 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆 ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑆)
1310, 12sylibr 223 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
14133adant1 1072 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑆)
15 prfi 8120 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
1714, 16elind 3760 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
18 prnzg 4254 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
19183ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
2019neneqd 2787 . . . . 5 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} = ∅)
21 elsni 4142 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅} → {𝐴, 𝐵} = ∅)
2221con3i 149 . . . . 5 (¬ {𝐴, 𝐵} = ∅ → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
2320, 22syl 17 . . . 4 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → ¬ {𝐴, 𝐵} ∈ {∅})
2417, 23eldifd 3551 . . 3 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ ((𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∖ {∅}))
255, 9, 24rspcdva 3288 . 2 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑆)
262, 25eqeltrrd 2689 1 ((𝑆𝑃𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  cdif 3537  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   cint 4410  cfv 5804  Fincfn 7841  ficfi 8199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-fi 8200
This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem3  29555
  Copyright terms: Public domain W3C validator