Theorem hashen 12997

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)))
2		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	2	hashginv 12983	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4	2	hashginv 12983	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)) = (card‘𝐵))
5	3, 4	eqeqan12d 2626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = (◡(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
6	1, 5	syl5ib 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
8	2	hashgval 12982	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
9	2	hashgval 12982	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (#‘𝐵))
10	8, 9	eqeqan12d 2626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
11	7, 10	syl5ib 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
12	6, 11	impbid 201	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13		finnum 8657	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14		finnum 8657	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15		carden2 8696	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
17	12, 16	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  cardccrd 8644  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hasheni  12998  hasheqf1o  12999  isfinite4  13014  hasheq0  13015  hashsng  13020  hashen1  13021  hashsdom  13031  hash1snb  13068  hashxplem  13080  hashmap  13082  hashpw  13083  hashbclem  13093  hash2pr  13108  pr2pwpr  13116  hash3tr  13127  isercolllem2  14244  isercoll  14246  fz1f1o  14288  summolem3  14292  summolem2a  14293  mertenslem1  14455  prodmolem3  14502  prodmolem2a  14503  bpolylem  14618  hashdvds  15318  crth  15321  phimullem  15322  eulerth  15326  4sqlem11  15497  lagsubg2  17478  orbsta2  17570  dfod2  17804  sylow1lem2  17837  sylow2alem2  17856  sylow2a  17857  slwhash  17862  sylow2  17864  sylow3lem1  17865  cyggenod  18109  lt6abl  18119  gsumval3lem1  18129  gsumval3lem2  18130  gsumval3  18131  ablfac1c  18293  ablfac1eu  18295  ablfaclem3  18309  fta1blem  23732  vieta1  23871  basellem5  24611  isppw  24640  eupai  26494  derangen2  30410  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem5  30420  erdsze2lem1  30439  erdsze2lem2  30440  poimirlem9  32588  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  eldioph2lem1  36341  frlmpwfi  36686  isnumbasgrplem3  36694  idomsubgmo  36795