Theorem 1onn 7606

Description: One is a natural number. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
1onn	⊢ 1𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 1onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-1o 7447	. 2 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
2		peano1 6977	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
3		peano2 6978	. . 3 ⊢ (∅ ∈ ω → suc ∅ ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc ∅ ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2684	1 ⊢ 1𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  suc csuc 5642  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958  df-1o 7447

This theorem is referenced by:  2onn  7607  oaabs2  7612  omabs  7614  nnm2  7616  nnneo  7618  nneob  7619  snfi  7923  snnen2o  8034  1sdom2  8044  1sdom  8048  unxpdom2  8053  en1eqsn  8075  en2  8081  pwfi  8144  wofib  8333  oancom  8431  cnfcom3clem  8485  card1  8677  pm54.43lem  8708  en2eleq  8714  en2other2  8715  infxpenlem  8719  infxpenc2lem1  8725  infmap2  8923  sdom2en01  9007  cfpwsdom  9285  canthp1lem2  9354  gchcda1  9357  pwxpndom2  9366  pwcdandom  9368  1pi  9584  1lt2pi  9606  indpi  9608  hash2  13054  hash1snb  13068  setcepi  16561  f1otrspeq  17690  pmtrf  17698  pmtrmvd  17699  pmtrfinv  17704  lt6abl  18119  isnzr2  19084  vr1cl  19408  ply1coe  19487  frgpcyg  19741  isppw  24640  bnj906  30254  finxpreclem1  32402  finxpreclem2  32403  finxp1o  32405  finxpreclem4  32407  finxp2o  32412