MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem incexc2 14409
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘ 𝑠)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑠,𝐴

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 14408 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)))
2 hashcl 13009 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
32ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
5 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ 𝒫 𝐴𝑘𝐴)
7 ssdomg 7887 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝑘𝐴𝑘𝐴))
87imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
95, 6, 8syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘𝐴)
10 hashdomi 13030 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → (#‘𝑘) ≤ (#‘𝐴))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (#‘𝑘) ≤ (#‘𝐴))
12 fznn 12278 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → ((#‘𝑘) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ ((#‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑘) ≤ (#‘𝐴))))
1312rbaibd 947 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑘) ≤ (#‘𝐴)) → ((#‘𝑘) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (#‘𝑘) ∈ ℕ))
144, 11, 13syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((#‘𝑘) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (#‘𝑘) ∈ ℕ))
15 ssfi 8065 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
165, 6, 15syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑘 ∈ Fin)
17 hashnncl 13018 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ Fin → ((#‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → ((#‘𝑘) ∈ ℕ ↔ 𝑘 ≠ ∅))
1914, 18bitr2d 268 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑘 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑘) ∈ (1...(#‘𝐴))))
20 df-ne 2782 . . . . . . . 8 (𝑘 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
21 risset 3044 . . . . . . . 8 ((#‘𝑘) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))𝑛 = (#‘𝑘))
2219, 20, 213bitr3g 301 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))𝑛 = (#‘𝑘)))
23 velsn 4141 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {∅} ↔ 𝑘 = ∅)
2423notbii 309 . . . . . . 7 𝑘 ∈ {∅} ↔ ¬ 𝑘 = ∅)
25 eqcom 2617 . . . . . . . 8 ((#‘𝑘) = 𝑛𝑛 = (#‘𝑘))
2625rexbii 3023 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))(#‘𝑘) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))𝑛 = (#‘𝑘))
2722, 24, 263bitr4g 302 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴) → (¬ 𝑘 ∈ {∅} ↔ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))(#‘𝑘) = 𝑛))
2827rabbidva 3163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))(#‘𝑘) = 𝑛})
29 dfdif2 3549 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ¬ 𝑘 ∈ {∅}}
30 iunrab 4503 . . . . 5 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} = {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ ∃𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))(#‘𝑘) = 𝑛}
3128, 29, 303eqtr4g 2669 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) = 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛})
3231sumeq1d 14279 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅})((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)))
331, 32eqtrd 2644 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)))
34 fzfid 12634 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (1...(#‘𝐴)) ∈ Fin)
35 simpll 786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝐴 ∈ Fin)
36 pwfi 8144 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
3735, 36sylib 207 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
38 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴
39 ssfi 8065 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 693 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ∈ Fin)
41 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑠 → (#‘𝑘) = (#‘𝑠))
4241eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑠 → ((#‘𝑘) = 𝑛 ↔ (#‘𝑠) = 𝑛))
4342elrab 3331 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑠) = 𝑛))
4443simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} → (#‘𝑠) = 𝑛)
4544adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (#‘𝑠) = 𝑛)
4645ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘𝑠) = 𝑛)
4746ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘𝑠) = 𝑛)
48 invdisj 4571 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))∀𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘𝑠) = 𝑛Disj 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛})
4947, 48syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛})
5045oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → ((#‘𝑠) − 1) = (𝑛 − 1))
5150oveq2d 6565 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑((#‘𝑠) − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
5251oveq1d 6564 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · (#‘ 𝑠)))
53 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 1 ∈ ℂ)
5453negcld 10258 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → -1 ∈ ℂ)
55 elfznn 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5655adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
57 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5954, 58expcld 12870 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
61 unifi 8138 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6261ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
6356adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑛 ∈ ℕ)
6445, 63eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (#‘𝑠) ∈ ℕ)
6535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝐴 ∈ Fin)
66 elrabi 3328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐴)
68 elpwi 4117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐴𝑠𝐴)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠𝐴)
70 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
7165, 69, 70syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
72 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ Fin → ((#‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → ((#‘𝑠) ∈ ℕ ↔ 𝑠 ≠ ∅))
7464, 73mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ≠ ∅)
75 intssuni 4434 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 𝑠)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝑠)
7769unissd 4398 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
7876, 77sstrd 3578 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 𝐴)
79 ssfi 8065 . . . . . . . . 9 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑠 𝐴) → 𝑠 ∈ Fin)
8062, 78, 79syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → 𝑠 ∈ Fin)
81 hashcl 13009 . . . . . . . 8 ( 𝑠 ∈ Fin → (#‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
8280, 81syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (#‘ 𝑠) ∈ ℕ0)
8382nn0cnd 11230 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → (#‘ 𝑠) ∈ ℂ)
8460, 83mulcld 9939 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · (#‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8552, 84eqeltrd 2688 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛}) → ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8685anasss 677 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) ∧ 𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛})) → ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) ∈ ℂ)
8734, 40, 49, 86fsumiun 14394 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑠 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)){𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)))
8852sumeq2dv 14281 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (#‘ 𝑠)))
8940, 59, 83fsummulc2 14358 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘ 𝑠)) = Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑(𝑛 − 1)) · (#‘ 𝑠)))
9088, 89eqtr4d 2647 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = ((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘ 𝑠)))
9190sumeq2dv 14281 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} ((-1↑((#‘𝑠) − 1)) · (#‘ 𝑠)) = Σ𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘ 𝑠)))
9233, 87, 913eqtrd 2648 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))((-1↑(𝑛 − 1)) · Σ𝑠 ∈ {𝑘 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑘) = 𝑛} (#‘ 𝑠)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   cuni 4372   cint 4410   ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cdom 7839  Fincfn 7841  cc 9813  1c1 9816   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  cexp 12722  #chash 12979  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator