MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbsta2 17570
Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
orbsta2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta2.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta2.o 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
orbsta2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐴]𝑂) · (#‘𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑔,𝑥,𝑦,   𝐴,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑌,𝑥,𝑦   ,𝑔,𝑥,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑔,𝑋,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢,𝑔)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 orbsta2.r . . 3 = (𝐺 ~QG 𝐻)
3 orbsta2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
41, 3gastacl 17565 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 480 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 simpr 476 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
71, 2, 5, 6lagsubg2 17478 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / )) · (#‘𝐻)))
8 eqid 2610 . . . . . . 7 ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩) = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
9 orbsta2.o . . . . . . 7 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
101, 3, 2, 8, 9orbsta 17569 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
1110adantr 480 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂)
12 fvex 6113 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
131, 12eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
1413qsex 7693 . . . . . 6 (𝑋 / ) ∈ V
1514f1oen 7862 . . . . 5 (ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩):(𝑋 / )–1-1-onto→[𝐴]𝑂 → (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂)
1611, 15syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂)
17 pwfi 8144 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
186, 17sylib 207 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
191, 2eqger 17467 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
205, 19syl 17 . . . . . . 7 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → Er 𝑋)
2120qsss 7695 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋)
22 ssfi 8065 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / ) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
2318, 21, 22syl2anc 691 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 / ) ∈ Fin)
2416ensymd 7893 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → [𝐴]𝑂 ≈ (𝑋 / ))
25 enfii 8062 . . . . . 6 (((𝑋 / ) ∈ Fin ∧ [𝐴]𝑂 ≈ (𝑋 / )) → [𝐴]𝑂 ∈ Fin)
2623, 24, 25syl2anc 691 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → [𝐴]𝑂 ∈ Fin)
27 hashen 12997 . . . . 5 (((𝑋 / ) ∈ Fin ∧ [𝐴]𝑂 ∈ Fin) → ((#‘(𝑋 / )) = (#‘[𝐴]𝑂) ↔ (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂))
2823, 26, 27syl2anc 691 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((#‘(𝑋 / )) = (#‘[𝐴]𝑂) ↔ (𝑋 / ) ≈ [𝐴]𝑂))
2916, 28mpbird 246 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘(𝑋 / )) = (#‘[𝐴]𝑂))
3029oveq1d 6564 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((#‘(𝑋 / )) · (#‘𝐻)) = ((#‘[𝐴]𝑂) · (#‘𝐻)))
317, 30eqtrd 2644 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐴]𝑂) · (#‘𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642  cmpt 4643  ran crn 5039  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  [cec 7627   / cqs 7628  cen 7838  Fincfn 7841   · cmul 9820  #chash 12979  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411   ~QG cqg 17413   GrpAct cga 17545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  17840  sylow2alem2  17856  sylow3lem3  17867
  Copyright terms: Public domain W3C validator