Theorem qshash 14398

Description: The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qshash.1	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
qshash.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
qshash	⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(#‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥, ∼

Proof of Theorem qshash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qshash.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝐴)
2		qshash.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		erex 7653	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → ∼ ∈ V))
4	1, 2, 3	sylc 63	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
5	1, 4	uniqs2 7696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝐴 / ∼ ) = 𝐴)
6	5	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ (𝐴 / ∼ )) = (#‘𝐴))
7		pwfi 8144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
8	2, 7	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
9	1	qsss 7695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴)
10		ssfi 8065	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 / ∼ ) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ∈ Fin)
12		elpwi 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
13		ssfi 8065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
14	13	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
15	2, 12, 14	syl2im 39	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ∈ Fin))
16	15	ssrdv 3574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
17	9, 16	sstrd 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) ⊆ Fin)
18		qsdisj2 7712	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er 𝐴 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
19	1, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )𝑥)
20	11, 17, 19	hashuni 14397	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘∪ (𝐴 / ∼ )) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(#‘𝑥))
21	6, 20	eqtr3d 2646	1 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = Σ𝑥 ∈ (𝐴 / ∼ )(#‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  Disj wdisj 4553  ‘cfv 5804   Er wer 7626   / cqs 7628  Fincfn 7841  #chash 12979  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  lagsubg2  17478  sylow1lem3  17838  sylow2a  17857  hashclwwlkn0  26358  hashclwwlksn0  41258