Theorem domtriomlem 9147

Description: Lemma for domtriom 9148. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
domtriomlem.1	⊢ 𝐴 ∈ V
domtriomlem.2	⊢ 𝐵 = {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
domtriomlem.3	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
domtriomlem	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑛,𝑦   𝐵,𝑏   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝑏   𝑦,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑦,𝑘,𝑛)   𝐶(𝑦,𝑏)

Proof of Theorem domtriomlem

Dummy variables 𝑐 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtriomlem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)}
2		domtriomlem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	pwex 4774	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ V
4		simpl 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
5	4	ss2abi 3637	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ⊆ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ 𝐴}
6		df-pw 4110	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 𝐴 = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ 𝐴}
7	5, 6	sseqtr4i 3601	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ⊆ 𝒫 𝐴
8	3, 7	ssexi 4731	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ∈ V
9	1, 8	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		omex 8423	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
11	10	enref 7874	. . . 4 ⊢ ω ≈ ω
12	9, 11	axcc3 9143	. . 3 ⊢ ∃𝑏(𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
13		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ 𝐴 ∈ Fin
14		nfra1 2925	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
15	13, 14	nfan 1816	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
16		nnfi 8038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ Fin)
17		pwfi 8144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑛 ∈ Fin)
18	16, 17	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝒫 𝑛 ∈ Fin)
19		ficardom 8670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 𝑛 ∈ Fin → (card‘𝒫 𝑛) ∈ ω)
20		isinf 8058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑚 ∈ ω ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝑚))
21		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → (𝑦 ≈ 𝑚 ↔ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)))
22	21	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝑚) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
23	22	exbidv 1837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (card‘𝒫 𝑛) → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝑚) ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
24	23	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((card‘𝒫 𝑛) ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ω ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝑚) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
25	20, 24	syl5 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((card‘𝒫 𝑛) ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
26	18, 19, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛))))
27		finnum 8657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 𝑛 ∈ Fin → 𝒫 𝑛 ∈ dom card)
28		cardid2 8662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝒫 𝑛 ∈ dom card → (card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
29		entr 7894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) ∧ (card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)
30	29	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((card‘𝒫 𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → (𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
31	18, 27, 28, 30	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛) → 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
32	31	anim2d 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
33	32	eximdv 1833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ (card‘𝒫 𝑛)) → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
34	26, 33	syld 46	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)))
35	1	neeq1i 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ≠ ∅)
36		abn0 3908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑦 ∣ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
37	35, 36	bitri 263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛))
38	34, 37	syl6ibr 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅))
39	38	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝑛 ∈ ω → 𝐵 ≠ ∅))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → 𝐵 ≠ ∅))
41		rsp 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ω → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)))
42	41	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)))
43	40, 42	mpdd 42	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → (𝑛 ∈ ω → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
44	15, 43	ralrimi 2940	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
45	44	3adant2 1073	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
46	45	3expib 1260	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
47	46	eximdv 1833	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → (∃𝑏(𝑏 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐵 ≠ ∅ → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)) → ∃𝑏∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
48	12, 47	mpi 20	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑏∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵)
49		axcc2 9142	. . . . 5 ⊢ ∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
50		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → 𝑐 Fn ω)
51		nfra1 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵
52		nfra1 2925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))
53	51, 52	nfan 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
54		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏‘𝑛) ∈ V
55		sseq1 3589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑏‘𝑛) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑏‘𝑛) ⊆ 𝐴))
56		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = (𝑏‘𝑛) → (𝑦 ≈ 𝒫 𝑛 ↔ (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛))
57	55, 56	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏‘𝑛) → ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝒫 𝑛) ↔ ((𝑏‘𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)))
58	54, 57, 1	elab2 3323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑏‘𝑛) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛))
59	58	simprbi 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
60	59	ralimi 2936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛)
61		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑏‘𝑛) = (𝑏‘𝑘))
62		pweq 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝒫 𝑛 = 𝒫 𝑘)
63	61, 62	breq12d 4596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 ↔ (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
64	63	cbvralv 3147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 ↔ ∀𝑘 ∈ ω (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘)
65		peano2 6978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
66		omelon 8426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ω ∈ On
67	66	onelssi 5753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ⊆ ω)
68		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑛 ⊆ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
69	65, 67, 68	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘))
70		pwsdompw 8909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) ≺ (𝑏‘𝑛))
71	70	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ suc 𝑛(𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) ≺ (𝑏‘𝑛)))
72	69, 71	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) ≺ (𝑏‘𝑛)))
73		sdomdif 7993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) ≺ (𝑏‘𝑛) → ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ≠ ∅)
74	72, 73	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑘 ∈ ω (𝑏‘𝑘) ≈ 𝒫 𝑘 → ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ≠ ∅))
75	64, 74	syl5bi 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ≠ ∅))
76		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ⊆ (𝑏‘𝑛)
77	54, 76	ssexi 4731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ∈ V
78		domtriomlem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ω ↦ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
79	78	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ∈ V) → (𝐶‘𝑛) = ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
80	77, 79	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝐶‘𝑛) = ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
81	80	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ ↔ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ≠ ∅))
82	75, 81	sylibrd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ≈ 𝒫 𝑛 → (𝐶‘𝑛) ≠ ∅))
83	60, 82	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑛 ∈ ω → (𝐶‘𝑛) ≠ ∅))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → (𝐶‘𝑛) ≠ ∅))
85		rsp 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑛 ∈ ω → ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))))
87	84, 86	mpdd 42	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
88	53, 87	ralrimi 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))
89	88	3adant2 1073	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))
90	50, 89	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
91	90	3expib 1260	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))))
92	91	eximdv 1833	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω ((𝐶‘𝑛) ≠ ∅ → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))) → ∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))))
93	49, 92	mpi 20	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
94		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑐 Fn ω)
95		nfra1 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)
96	51, 95	nfan 1816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛(∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛))
97		rsp 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
98	97	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)))
99		rsp 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑛 ∈ ω → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
100	99	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵))
101	80	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))))
102		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑛))
103	101, 102	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑛)))
104	58	simplbi 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑏‘𝑛) ⊆ 𝐴)
105	104	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴))
106	103, 105	syl9 75	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)))
107	100, 106	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)))
108	107	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)))
109	98, 108	syld 46	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)))
110	109	com13 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)))
111	110	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴))
112	96, 111	ralrimi 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)
113	112	3adant2 1073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴)
114		ffnfv 6295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐:ω⟶𝐴 ↔ (𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ 𝐴))
115	94, 113, 114	sylanbrc 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑐:ω⟶𝐴)
116		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ ω
117		nnord 6965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ω → Ord 𝑘)
118		nnord 6965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
119		ordtri3or 5672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Ord 𝑘 ∧ Ord 𝑛) → (𝑘 ∈ 𝑛 ∨ 𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑛 ∈ 𝑘))
120	117, 118, 119	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → (𝑘 ∈ 𝑛 ∨ 𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑛 ∈ 𝑘))
121	97, 101	mpbidi 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑛 ∈ ω → (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))))
122	95, 121	ralrimi 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
123		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑐‘𝑛) = (𝑐‘𝑘))
124		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
125	124	cbviunv 4495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑗)
126		iuneq1 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑗) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
127	125, 126	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
128	61, 127	difeq12d 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) = ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
129	123, 128	eleq12d 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) ↔ (𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
130	129	rspccv 3279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) → (𝑘 ∈ ω → (𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
131	122, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑘 ∈ ω → (𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
132	131	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
133	132	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
134		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → (𝑐‘𝑘) ∈ (𝑏‘𝑘))
135		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → ((𝑐‘𝑘) ∈ (𝑏‘𝑘) ↔ (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘)))
136	134, 135	syl5ib 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘)))
137	136	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘)))
138	133, 137	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘)))
139	138	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘))
140		ssiun2 4499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑛 → (𝑏‘𝑘) ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
141	140	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑛 → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑘) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
142	139, 141	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑛 → (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
143	142	3impib 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
144	121	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))))
145	144	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))))
146	145	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)))
147	146	eldifbd 3553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
148	147	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘))
149	143, 148	pm2.21dd 185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑛 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑘 = 𝑛)
150	149	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑛 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
151		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
152		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑛))
153	152	ssiun2s 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → (𝑏‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
154	153	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → ((𝑐‘𝑛) ∈ (𝑏‘𝑛) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
155	102, 154	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → ((𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝑛 (𝑏‘𝑘)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
156	146, 155	syl5 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → (((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
157	156	3impib 1254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
158		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) ↔ (𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
159		eldifn 3695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑐‘𝑛) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
160	158, 159	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
161	160	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → ((𝑐‘𝑘) ∈ ((𝑏‘𝑘) ∖ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
162	133, 161	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗)))
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))))
164	163	3imp 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ¬ (𝑐‘𝑛) ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑘 (𝑏‘𝑗))
165	157, 164	pm2.21dd 185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑘 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑘 = 𝑛)
166	165	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑘 → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
167	150, 151, 166	3jaoi 1383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑛 ∨ 𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑛 ∈ 𝑘) → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
168	167	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ (𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛)) → ((𝑘 ∈ 𝑛 ∨ 𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑛 ∈ 𝑘) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
169	168	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝑛 ∨ 𝑘 = 𝑛 ∨ 𝑛 ∈ 𝑘) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛))))
170	120, 169	mpid 43	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
171	170	com3r 85	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
172	171	expd 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑘 ∈ ω → (𝑛 ∈ ω → ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛))))
173	95, 116, 172	ralrimd 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → (𝑘 ∈ ω → ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
174	173	ralrimiv 2948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛))
175	174	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛))
176		dff13 6416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐:ω–1-1→𝐴 ↔ (𝑐:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ ω ∀𝑛 ∈ ω ((𝑐‘𝑘) = (𝑐‘𝑛) → 𝑘 = 𝑛)))
177	115, 175, 176	sylanbrc 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑐:ω–1-1→𝐴)
178		19.8a 2039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐:ω–1-1→𝐴 → ∃𝑐 𝑐:ω–1-1→𝐴)
179	177, 178	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∃𝑐 𝑐:ω–1-1→𝐴)
180	2	brdom 7853	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ∃𝑐 𝑐:ω–1-1→𝐴)
181	179, 180	sylibr 223	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ω ≼ 𝐴)
182	181	3expib 1260	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ((𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ω ≼ 𝐴))
183	182	exlimdv 1848	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → (∃𝑐(𝑐 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝑐‘𝑛) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ω ≼ 𝐴))
184	93, 183	mpd 15	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ω ≼ 𝐴)
185	184	exlimiv 1845	. 2 ⊢ (∃𝑏∀𝑛 ∈ ω (𝑏‘𝑛) ∈ 𝐵 → ω ≼ 𝐴)
186	48, 185	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ω ≼ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  Ord word 5639  suc csuc 5642   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841  cardccrd 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  domtriom  9148