Theorem dis1stc 21112

Description: A discrete space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dis1stc	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem dis1stc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4835	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
2		distop 20610	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} ∈ V → 𝒫 {𝑥} ∈ Top)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Top
4		tgtop 20588	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥})
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) = 𝒫 {𝑥}
6		topbas 20587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Top → 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ TopBases
8		snfi 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
9		pwfi 8144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin)
10	8, 9	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ Fin
11		isfinite 8432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ Fin ↔ 𝒫 {𝑥} ≺ ω)
12	10, 11	mpbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≺ ω
13		sdomdom 7869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 {𝑥} ≺ ω → 𝒫 {𝑥} ≼ ω)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ≼ ω
15		2ndci 21061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ TopBases ∧ 𝒫 {𝑥} ≼ ω) → (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔)
16	7, 14, 15	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘𝒫 {𝑥}) ∈ 2nd𝜔
17	5, 16	eqeltrri 2685	. . . . 5 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔
18		2ndc1stc 21064	. . . . 5 ⊢ (𝒫 {𝑥} ∈ 2nd𝜔 → 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
20	19	rgenw 2908	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔
21		dislly 21110	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝒫 {𝑥} ∈ 1st𝜔))
22	20, 21	mpbiri 247	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Locally 1st𝜔)
23		lly1stc 21109	. 2 ⊢ Locally 1st𝜔 = 1st𝜔
24	22, 23	syl6eleq 2698	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ 1st𝜔)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841  topGenctg 15921  Topctop 20517  TopBasesctb 20520  1^st𝜔c1stc 21050  2^nd𝜔c2ndc 21051  Locally clly 21077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-card 8648  df-acn 8651  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-1stc 21052  df-2ndc 21053  df-lly 21079

This theorem is referenced by: (None)