Theorem ackbij1lem10 8934

Description: Lemma for ackbij1 8943. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem10	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2		inss2 3796	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
3	2	sseli 3564	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
4		snfi 7923	. . . . . 6 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
5		inss1 3795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
6	5	sseli 3564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
7	6	elpwid 4118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
8		onfin2 8037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
9		inss2 3796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
10	8, 9	eqsstri 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ⊆ Fin
11	7, 10	syl6ss 3580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
12	11	sselda 3568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
13		pwfi 8144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
14	12, 13	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
15		xpfi 8116	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
16	4, 14, 15	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
17	16	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18		iunfi 8137	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
19	3, 17, 18	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
20		ficardom 8670	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
22	1, 21	fmpti 6291	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ωcom 6957  Fincfn 7841  cardccrd 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648

This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8936  ackbij1lem13  8937  ackbij1lem14  8938  ackbij1lem15  8939  ackbij1lem16  8940  ackbij1lem17  8941  ackbij1lem18  8942  ackbij1b  8944