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Theorem ackbij1lem10 8065
Description: Lemma for ackbij1 8074. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
2 inss2 3522 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
32sseli 3304 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
4 snfi 7146 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P om )
76elpwid 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
om )
8 onfin2 7257 . . . . . . . . . 10  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
9 inss2 3522 . . . . . . . . . 10  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
108, 9eqsstri 3338 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  Fin
117, 10syl6ss 3320 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
Fin )
1211sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  Fin )
13 pwfi 7360 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1412, 13sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P y  e.  Fin )
15 xpfi 7337 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
164, 14, 15sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1716ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
18 iunfi 7353 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
193, 17, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
20 ficardom 7804 . . 3  |-  ( U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
221, 21fmpti 5851 1  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    i^i cin 3279   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U_ciun 4053    e. cmpt 4226   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413   Fincfn 7068   cardccrd 7778
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8067  ackbij1lem13  8068  ackbij1lem14  8069  ackbij1lem15  8070  ackbij1lem16  8071  ackbij1lem17  8072  ackbij1lem18  8073  ackbij1b  8075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782
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