MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ficardom 8670
Description: The cardinal number of a finite set is a finite ordinal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardom (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)

Proof of Theorem ficardom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7865 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
21biimpi 205 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
3 finnum 8657 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
4 cardid2 8662 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
6 entr 7894 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ≈ 𝐴𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
75, 6sylan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ≈ 𝑥)
8 cardon 8653 . . . . . . 7 (card‘𝐴) ∈ On
9 onomeneq 8035 . . . . . . 7 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
108, 9mpan 702 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝑥 ↔ (card‘𝐴) = 𝑥))
117, 10syl5ib 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) = 𝑥))
12 eleq1a 2683 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → ((card‘𝐴) = 𝑥 → (card‘𝐴) ∈ ω))
1311, 12syld 46 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑥) → (card‘𝐴) ∈ ω))
1413expcomd 453 . . 3 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)))
1514rexlimiv 3009 . 2 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω))
162, 15mpcom 37 1 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Oncon0 5640  cfv 5804  ωcom 6957  cen 7838  Fincfn 7841  cardccrd 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648
This theorem is referenced by:  cardnn  8672  isinffi  8701  finnisoeu  8819  iunfictbso  8820  ficardun  8907  ficardun2  8908  pwsdompw  8909  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem9  8933  ackbij1lem10  8934  ackbij1lem14  8938  ackbij1b  8944  ackbij2lem2  8945  ackbij2  8948  fin23lem22  9032  fin1a2lem11  9115  domtriomlem  9147  pwfseqlem4a  9362  pwfseqlem4  9363  hashkf  12981  hashginv  12983  hashcard  13008  hashcl  13009  hashdom  13029  hashun  13032  ishashinf  13104  ackbijnn  14399  mreexexd  16131  mreexexdOLD  16132
  Copyright terms: Public domain W3C validator