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Theorem nmzsubg 14936
Description: The normalizer NG(S) of a subset  S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
nmzsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmzsubg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
nmzsubg  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    x, y, G    x, S, y    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
2 ssrab2 3388 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3338 . . 3  |-  N  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  C_  X )
5 nmzsubg.2 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 14788 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
95, 8, 6grplid 14790 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
105, 8, 6grprid 14791 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  =  z )
119, 10eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  ( z 
.+  ( 0g `  G ) ) )
1211eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( 0g
`  G )  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g
`  G ) )  e.  S ) )
1312ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) )
141elnmz 14934 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) ) )
157, 13, 14sylanbrc 646 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  N )
16 ne0i 3594 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  =/=  (/) )
18 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
193sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  X )
203sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  N  ->  w  e.  X )
215, 8grpcl 14773 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
2218, 19, 20, 21syl3an 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
23 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
24 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
253, 24sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
26 simpl3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  N )
273, 26sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  X )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
295, 8grpass 14774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( z  .+  w
)  .+  u )  =  ( z  .+  ( w  .+  u ) ) )
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  w )  .+  u )  =  ( z  .+  ( w 
.+  u ) ) )
3130eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S ) )
325, 8grpcl 14773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( w  .+  u
)  e.  X )
3323, 27, 28, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( w  .+  u )  e.  X
)
341nmzbi 14935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( w  .+  u )  e.  X )  -> 
( ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  e.  S
) )
3524, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( w 
.+  u )  .+  z )  e.  S
) )
365, 8grpass 14774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( w  e.  X  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( w  .+  u
)  .+  z )  =  ( w  .+  ( u  .+  z ) ) )
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  =  ( w  .+  ( u 
.+  z ) ) )
3837eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( w  .+  u
)  .+  z )  e.  S  <->  ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S ) )
395, 8grpcl 14773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( u  .+  z
)  e.  X )
4023, 28, 25, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  z )  e.  X
)
411nmzbi 14935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N  /\  ( u  .+  z )  e.  X )  -> 
( ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4226, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4335, 38, 423bitrd 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
445, 8grpass 14774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( z  .+  w
) ) )
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  =  ( u  .+  ( z 
.+  w ) ) )
4645eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( u  .+  z
)  .+  w )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4731, 43, 463bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4847ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( z 
.+  w )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z 
.+  w ) )  e.  S ) )
491elnmz 14934 . . . . . . 7  |-  ( ( z  .+  w )  e.  N  <->  ( (
z  .+  w )  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  N )
51503expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  w  e.  N
)  ->  ( z  .+  w )  e.  N
)
5251ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N )
53 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
545, 53grpinvcl 14805 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
5519, 54sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )
56 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
57 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
5855adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X )
59 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
605, 8grpcl 14773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X )  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  X
)
625, 8grpcl 14773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
6357, 58, 61, 62syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
641nmzbi 14935 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
6556, 63, 64syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
663, 56sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
675, 8, 6, 53grprinv 14807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6857, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) ) )
705, 8grpass 14774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X ) )  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) ) )
725, 8, 6grplid 14790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7357, 61, 72syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )
7469, 71, 733eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) ) )  =  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )
7574eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
765, 8grpass 14774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( u 
.+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
785, 8grpass 14774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
805, 8, 6, 53grplinv 14806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8157, 66, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  z ) )  =  ( u  .+  ( 0g `  G ) ) )
835, 8, 6grprid 14791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X )  ->  ( u  .+  ( 0g `  G ) )  =  u )
8457, 59, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( 0g `  G
) )  =  u )
8579, 82, 843eqtrd 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  u )
8685oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u ) )
8777, 86eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )
)
8887eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
) )  .+  z
)  e.  S  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S ) )
8965, 75, 883bitr3rd 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
9089ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G
) `  z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
911elnmz 14934 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N  <->  ( (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( ( ( ( inv g `  G ) `
 z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) ) )
9255, 90, 91sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N )
9352, 92jca 519 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w )  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
9493ralrimiva 2749 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  (
z  .+  w )  e.  N  /\  (
( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) )
955, 8, 53issubg2 14914 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( N  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( N  C_  X  /\  N  =/=  (/)  /\  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N  /\  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  N ) ) ) )
964, 17, 94, 95mpbir3and 1137 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641  SubGrpcsubg 14893
This theorem is referenced by:  nmznsg  14939  sylow3lem3  15218  sylow3lem4  15219  sylow3lem6  15221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896
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