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Theorem nmzsubg 15715
Description: The normalizer NG(S) of a subset  S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
nmzsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmzsubg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
nmzsubg  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    x, y, G    x, S, y    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
2 ssrab2 3434 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3383 . . 3  |-  N  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  C_  X )
5 nmzsubg.2 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 15559 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
95, 8, 6grplid 15561 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
105, 8, 6grprid 15562 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  =  z )
119, 10eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  ( z 
.+  ( 0g `  G ) ) )
1211eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( 0g
`  G )  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g
`  G ) )  e.  S ) )
1312ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) )
141elnmz 15713 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) ) )
157, 13, 14sylanbrc 659 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  N )
16 ne0i 3640 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  =/=  (/) )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
193sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  X )
203sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  N  ->  w  e.  X )
215, 8grpcl 15544 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
2218, 19, 20, 21syl3an 1255 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
23 simpl1 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
24 simpl2 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
253, 24sseldi 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
26 simpl3 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  N )
273, 26sseldi 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  X )
28 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
295, 8grpass 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( z  .+  w
)  .+  u )  =  ( z  .+  ( w  .+  u ) ) )
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  w )  .+  u )  =  ( z  .+  ( w 
.+  u ) ) )
3130eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S ) )
325, 8grpcl 15544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( w  .+  u
)  e.  X )
3323, 27, 28, 32syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( w  .+  u )  e.  X
)
341nmzbi 15714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( w  .+  u )  e.  X )  -> 
( ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  e.  S
) )
3524, 33, 34syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( w 
.+  u )  .+  z )  e.  S
) )
365, 8grpass 15545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( w  e.  X  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( w  .+  u
)  .+  z )  =  ( w  .+  ( u  .+  z ) ) )
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  =  ( w  .+  ( u 
.+  z ) ) )
3837eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( w  .+  u
)  .+  z )  e.  S  <->  ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S ) )
395, 8grpcl 15544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( u  .+  z
)  e.  X )
4023, 28, 25, 39syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  z )  e.  X
)
411nmzbi 15714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N  /\  ( u  .+  z )  e.  X )  -> 
( ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4226, 40, 41syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4335, 38, 423bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
445, 8grpass 15545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( z  .+  w
) ) )
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  =  ( u  .+  ( z 
.+  w ) ) )
4645eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( u  .+  z
)  .+  w )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4731, 43, 463bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4847ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( z 
.+  w )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z 
.+  w ) )  e.  S ) )
491elnmz 15713 . . . . . . 7  |-  ( ( z  .+  w )  e.  N  <->  ( (
z  .+  w )  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  N )
51503expa 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  w  e.  N
)  ->  ( z  .+  w )  e.  N
)
5251ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N )
53 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
545, 53grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
5519, 54sylan2 471 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
56 simplr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
57 simpll 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
5855adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X )
59 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
605, 8grpcl 15544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )  ->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  X
)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  X
)
625, 8grpcl 15544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
6357, 58, 61, 62syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
641nmzbi 15714 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
6556, 63, 64syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
663, 56sseldi 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
675, 8, 6, 53grprinv 15578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6857, 66, 67syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6968oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) ) )
705, 8grpass 15545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X ) )  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) ) )
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) ) )
725, 8, 6grplid 15561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )
7357, 61, 72syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )
7469, 71, 733eqtr3d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) ) )  =  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )
7574eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
765, 8grpass 15545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( u 
.+  ( ( invg `  G ) `
 z ) )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
785, 8grpass 15545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
805, 8, 6, 53grplinv 15577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8157, 66, 80syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8281oveq2d 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z ) )  =  ( u  .+  ( 0g `  G ) ) )
835, 8, 6grprid 15562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X )  ->  ( u  .+  ( 0g `  G ) )  =  u )
8457, 59, 83syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( 0g `  G
) )  =  u )
8579, 82, 843eqtrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  u )
8685oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  u ) )
8777, 86eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  u )
)
8887eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  .+  z
)  e.  S  <->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S ) )
8965, 75, 883bitr3rd 284 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
9089ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
911elnmz 15713 . . . . 5  |-  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N  <->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) ) )
9255, 90, 91sylanbrc 659 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N )
9352, 92jca 529 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w )  e.  N  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) )
9493ralrimiva 2797 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  (
z  .+  w )  e.  N  /\  (
( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) )
955, 8, 53issubg2 15689 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( N  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( N  C_  X  /\  N  =/=  (/)  /\  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) ) ) )
964, 17, 94, 95mpbir3and 1166 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  SubGrpcsubg 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-subg 15671
This theorem is referenced by:  nmznsg  15718  sylow3lem3  16121  sylow3lem4  16122  sylow3lem6  16124
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