Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Unicode version

Theorem nmzsubg 16369
 Description: The normalizer NG(S) of a subset of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1
nmzsubg.2
nmzsubg.3
Assertion
Ref Expression
nmzsubg SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4
2 ssrab2 3581 . . . 4
31, 2eqsstri 3529 . . 3
43a1i 11 . 2
5 nmzsubg.2 . . . . 5
6 eqid 2457 . . . . 5
75, 6grpidcl 16205 . . . 4
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8
95, 8, 6grplid 16207 . . . . . . 7
105, 8, 6grprid 16208 . . . . . . 7
119, 10eqtr4d 2501 . . . . . 6
1211eleq1d 2526 . . . . 5
1312ralrimiva 2871 . . . 4
141elnmz 16367 . . . 4
157, 13, 14sylanbrc 664 . . 3
16 ne0i 3799 . . 3
1715, 16syl 16 . 2
18 id 22 . . . . . . . 8
193sseli 3495 . . . . . . . 8
203sseli 3495 . . . . . . . 8
215, 8grpcl 16190 . . . . . . . 8
2218, 19, 20, 21syl3an 1270 . . . . . . 7
23 simpl1 999 . . . . . . . . . . 11
24 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12
253, 24sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11
26 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . 12
273, 26sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11
28 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
295, 8grpass 16191 . . . . . . . . . . 11
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10
3130eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
325, 8grpcl 16190 . . . . . . . . . . . 12
3323, 27, 28, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
341nmzbi 16368 . . . . . . . . . . 11
3524, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
365, 8grpass 16191 . . . . . . . . . . . 12
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11
3837eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
395, 8grpcl 16190 . . . . . . . . . . . 12
4023, 28, 25, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
411nmzbi 16368 . . . . . . . . . . 11
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4335, 38, 423bitrd 279 . . . . . . . . 9
445, 8grpass 16191 . . . . . . . . . . 11
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10
4645eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4731, 43, 463bitrd 279 . . . . . . . 8
4847ralrimiva 2871 . . . . . . 7
491elnmz 16367 . . . . . . 7
5022, 48, 49sylanbrc 664 . . . . . 6
51503expa 1196 . . . . 5
5251ralrimiva 2871 . . . 4
53 eqid 2457 . . . . . . 7
545, 53grpinvcl 16222 . . . . . 6
5519, 54sylan2 474 . . . . 5
56 simplr 755 . . . . . . . 8
57 simpll 753 . . . . . . . . 9
5855adantr 465 . . . . . . . . 9
59 simpr 461 . . . . . . . . . 10
605, 8grpcl 16190 . . . . . . . . . 10
6157, 59, 58, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
625, 8grpcl 16190 . . . . . . . . 9
6357, 58, 61, 62syl3anc 1228 . . . . . . . 8
641nmzbi 16368 . . . . . . . 8
6556, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7
663, 56sseldi 3497 . . . . . . . . . . 11
675, 8, 6, 53grprinv 16224 . . . . . . . . . . 11
6857, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
6968oveq1d 6311 . . . . . . . . 9
705, 8grpass 16191 . . . . . . . . . 10
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1230 . . . . . . . . 9
725, 8, 6grplid 16207 . . . . . . . . . 10
7357, 61, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7469, 71, 733eqtr3d 2506 . . . . . . . 8
7574eleq1d 2526 . . . . . . 7
765, 8grpass 16191 . . . . . . . . . 10
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1230 . . . . . . . . 9
785, 8grpass 16191 . . . . . . . . . . . 12
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11
805, 8, 6, 53grplinv 16223 . . . . . . . . . . . . 13
8157, 66, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
8281oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
835, 8, 6grprid 16208 . . . . . . . . . . . 12
8457, 59, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
8579, 82, 843eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10
8685oveq2d 6312 . . . . . . . . 9
8777, 86eqtrd 2498 . . . . . . . 8
8887eleq1d 2526 . . . . . . 7
8965, 75, 883bitr3rd 284 . . . . . 6
9089ralrimiva 2871 . . . . 5
911elnmz 16367 . . . . 5
9255, 90, 91sylanbrc 664 . . . 4
9352, 92jca 532 . . 3
9493ralrimiva 2871 . 2
955, 8, 53issubg2 16343 . 2 SubGrp
964, 17, 94, 95mpbir3and 1179 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  crab 2811   wss 3471  c0 3793  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   cplusg 14712  c0g 14857  cgrp 16180  cminusg 16181  SubGrpcsubg 16322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325 This theorem is referenced by:  nmznsg  16372  sylow3lem3  16776  sylow3lem4  16777  sylow3lem6  16779
 Copyright terms: Public domain W3C validator