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Theorem nmzsubg 15722
Description: The normalizer NG(S) of a subset  S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
nmzsubg.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
nmzsubg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
nmzsubg  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Distinct variable groups:    x, y, G    x, S, y    x,  .+ , y    x, X, y
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables  z  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S ) }
2 ssrab2 3437 . . . 4  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( y  .+  x )  e.  S
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3386 . . 3  |-  N  C_  X
43a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  C_  X )
5 nmzsubg.2 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
75, 6grpidcl 15566 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
95, 8, 6grplid 15568 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
105, 8, 6grprid 15569 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  =  z )
119, 10eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  ( z 
.+  ( 0g `  G ) ) )
1211eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( 0g
`  G )  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g
`  G ) )  e.  S ) )
1312ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) )
141elnmz 15720 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  <->  ( ( 0g `  G )  e.  X  /\  A. z  e.  X  ( (
( 0g `  G
)  .+  z )  e.  S  <->  ( z  .+  ( 0g `  G ) )  e.  S ) ) )
157, 13, 14sylanbrc 664 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  N )
16 ne0i 3643 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  N  ->  N  =/=  (/) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  =/=  (/) )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
193sseli 3352 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  X )
203sseli 3352 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  N  ->  w  e.  X )
215, 8grpcl 15551 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
2218, 19, 20, 21syl3an 1260 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  X )
23 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
24 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
253, 24sseldi 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
26 simpl3 993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  N )
273, 26sseldi 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  w  e.  X )
28 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
295, 8grpass 15552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( z  .+  w
)  .+  u )  =  ( z  .+  ( w  .+  u ) ) )
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  w )  .+  u )  =  ( z  .+  ( w 
.+  u ) ) )
3130eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S ) )
325, 8grpcl 15551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( w  .+  u
)  e.  X )
3323, 27, 28, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( w  .+  u )  e.  X
)
341nmzbi 15721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( w  .+  u )  e.  X )  -> 
( ( z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  e.  S
) )
3524, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( w 
.+  u )  .+  z )  e.  S
) )
365, 8grpass 15552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( w  e.  X  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( w  .+  u
)  .+  z )  =  ( w  .+  ( u  .+  z ) ) )
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  u )  .+  z )  =  ( w  .+  ( u 
.+  z ) ) )
3837eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( w  .+  u
)  .+  z )  e.  S  <->  ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S ) )
395, 8grpcl 15551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( u  .+  z
)  e.  X )
4023, 28, 25, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  z )  e.  X
)
411nmzbi 15721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  N  /\  ( u  .+  z )  e.  X )  -> 
( ( w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
w  .+  ( u  .+  z ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
4335, 38, 423bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( w  .+  u ) )  e.  S  <->  ( ( u 
.+  z )  .+  w )  e.  S
) )
445, 8grpass 15552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( z  .+  w
) ) )
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  z )  .+  w )  =  ( u  .+  ( z 
.+  w ) ) )
4645eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( u  .+  z
)  .+  w )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4731, 43, 463bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) )
4847ralrimiva 2799 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( z 
.+  w )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z 
.+  w ) )  e.  S ) )
491elnmz 15720 . . . . . . 7  |-  ( ( z  .+  w )  e.  N  <->  ( (
z  .+  w )  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( (
( z  .+  w
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( z  .+  w
) )  e.  S
) ) )
5022, 48, 49sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N  /\  w  e.  N )  ->  ( z  .+  w
)  e.  N )
51503expa 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  w  e.  N
)  ->  ( z  .+  w )  e.  N
)
5251ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N )
53 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
545, 53grpinvcl 15583 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
5519, 54sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )
56 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  N )
57 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
5855adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X )
59 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  u  e.  X )
605, 8grpcl 15551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X )  ->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  X
)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  X
)
625, 8grpcl 15551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
6357, 58, 61, 62syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  e.  X )
641nmzbi 15721 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
6556, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  e.  S
) )
663, 56sseldi 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  z  e.  X )
675, 8, 6, 53grprinv 15585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .+  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6857, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  =  ( 0g `  G ) )
6968oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) ) )
705, 8grpass 15552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X ) )  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) ) )
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  =  ( z  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) ) )
725, 8, 6grplid 15568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  X )  ->  ( ( 0g
`  G )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )
7357, 61, 72syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  =  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )
7469, 71, 733eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( z  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) ) )  =  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )
7574eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
z  .+  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) ) )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
765, 8grpass 15552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  X  /\  ( u 
.+  ( ( invg `  G ) `
 z ) )  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  ( u  .+  (
( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) ) )
785, 8grpass 15552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  ( u  .+  (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  z )
) )
805, 8, 6, 53grplinv 15584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8157, 66, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  z )  =  ( 0g `  G ) )
8281oveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  z ) )  =  ( u  .+  ( 0g `  G ) ) )
835, 8, 6grprid 15569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X )  ->  ( u  .+  ( 0g `  G ) )  =  u )
8457, 59, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( u  .+  ( 0g `  G
) )  =  u )
8579, 82, 843eqtrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z )  =  u )
8685oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  ( (
u  .+  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) 
.+  z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  u ) )
8777, 86eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) ) )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  .+  u )
)
8887eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
) )  .+  z
)  e.  S  <->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S ) )
8965, 75, 883bitr3rd 284 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  /\  u  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  z
)  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
9089ralrimiva 2799 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  A. u  e.  X  ( ( ( ( invg `  G
) `  z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
911elnmz 15720 . . . . 5  |-  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N  <->  ( (
( invg `  G ) `  z
)  e.  X  /\  A. u  e.  X  ( ( ( ( invg `  G ) `
 z )  .+  u )  e.  S  <->  ( u  .+  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) ) )
9255, 90, 91sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N )
9352, 92jca 532 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  N )  ->  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w )  e.  N  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) )
9493ralrimiva 2799 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  (
z  .+  w )  e.  N  /\  (
( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) )
955, 8, 53issubg2 15696 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( N  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( N  C_  X  /\  N  =/=  (/)  /\  A. z  e.  N  ( A. w  e.  N  ( z  .+  w
)  e.  N  /\  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  N ) ) ) )
964, 17, 94, 95mpbir3and 1171 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  N  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411  SubGrpcsubg 15675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678
This theorem is referenced by:  nmznsg  15725  sylow3lem3  16128  sylow3lem4  16129  sylow3lem6  16131
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