Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1rid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1rid 17938
 Description: The left projection function is the zero operator on the right subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1rid ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem pj1rid
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 17422 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
5 pj1eu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
76subgss 17418 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
98sselda 3568 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10 pj1eu.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
11 pj1eu.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
126, 10, 11grplid 17275 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
134, 9, 12syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
1413eqcomd 2616 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = ( 0 + 𝑋))
15 pj1eu.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
16 pj1eu.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
175adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
1918adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑇𝑈) = { 0 })
20 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
2120adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
22 pj1f.p . . . 4 𝑃 = (proj1𝐺)
2315lsmub2 17895 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
241, 5, 23syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
2524sselda 3568 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
2611subg0cl 17425 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
272, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 0𝑇)
28 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
2910, 15, 11, 16, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 28pj1eq 17936 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋 = ( 0 + 𝑋) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋)))
3014, 29mpbid 221 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋))
3130simpld 474 1 ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  LSSumclsm 17872  proj1cpj1 17873 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-pj1 17875 This theorem is referenced by:  dpjidcl  18280
 Copyright terms: Public domain W3C validator