MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1eq 17936
Description: Any element of a direct subspace sum can be decomposed uniquely into projections onto the left and right factors. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
pj1eq.5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
pj1eq.6 (𝜑𝐵𝑇)
pj1eq.7 (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
pj1eq (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))

Proof of Theorem pj1eq
StepHypRef Expression
1 pj1eq.5 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
2 pj1eu.a . . . . 5 + = (+g𝐺)
3 pj1eu.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
4 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
5 pj1eu.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6 pj1eu.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 pj1eu.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
9 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
10 pj1f.p . . . . 5 𝑃 = (proj1𝐺)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1id 17935 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → 𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
121, 11mpdan 699 . . 3 (𝜑𝑋 = (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)))
1312eqeq1d 2612 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶)))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj1f 17933 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
1514, 1ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) ∈ 𝑇)
16 pj1eq.6 . . 3 (𝜑𝐵𝑇)
172, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pj2f 17934 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑃𝑇):(𝑇 𝑈)⟶𝑈)
1817, 1ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) ∈ 𝑈)
19 pj1eq.7 . . 3 (𝜑𝐶𝑈)
202, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19subgdisjb 17929 . 2 (𝜑 → ((((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) + ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋)) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
2113, 20bitrd 267 1 (𝜑 → (𝑋 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝐵 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cin 3539  wss 3540  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  LSSumclsm 17872  proj1cpj1 17873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-pj1 17875
This theorem is referenced by:  pj1lid  17937  pj1rid  17938  pj1ghm  17939  lsmhash  17941  dpjidcl  18280  pj1lmhm  18921
  Copyright terms: Public domain W3C validator