Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrin 33469
 Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p + = (+g𝐷)
lkrin.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e (𝜑𝐺𝐹)
lkrin.g (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrin (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)))
2 lkrin.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lkrin.e . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐺𝐹)
6 simprl 790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
7 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 lkrin.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrin.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
107, 8, 9lkrcl 33397 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 5, 6, 10syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2610 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14 lkrin.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15 lkrin.p . . . . . . 7 + = (+g𝐷)
16 lkrin.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐹)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐻𝐹)
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 33436 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)))
19 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
2012, 19, 8, 9lkrf0 33398 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
213, 5, 6, 20syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22 simprr 792 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))
2312, 19, 8, 9lkrf0 33398 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
243, 17, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2521, 24oveq12d 6567 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
2612lmodring 18694 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28 ringgrp 18375 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3130, 19grpidcl 17273 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3229, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3330, 13, 19grplid 17275 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3429, 32, 33syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3618, 25, 353eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
378, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 33435 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
397, 12, 19, 8, 9ellkr 33394 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
403, 38, 39syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
4111, 36, 40mpbir2and 959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
4241ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
431, 42syl5bi 231 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
4443ssrdv 3574 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390  LDualcld 33428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429 This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  35818  lclkrlem2f  35819  lclkrlem2r  35831  lclkrlem2v  35835  lclkrslem2  35845  lcfrlem2  35850
 Copyright terms: Public domain W3C validator