Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Unicode version

Theorem lkrin 34362
 Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f LFnl
lkrin.k LKer
lkrin.d LDual
lkrin.p
lkrin.w
lkrin.e
lkrin.g
Assertion
Ref Expression
lkrin

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3692 . . 3
2 lkrin.w . . . . . . 7
32adantr 465 . . . . . 6
4 lkrin.e . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 simprl 755 . . . . . 6
7 eqid 2467 . . . . . . 7
8 lkrin.f . . . . . . 7 LFnl
9 lkrin.k . . . . . . 7 LKer
107, 8, 9lkrcl 34290 . . . . . 6
113, 5, 6, 10syl3anc 1228 . . . . 5
12 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
13 eqid 2467 . . . . . . 7 Scalar Scalar
14 lkrin.d . . . . . . 7 LDual
15 lkrin.p . . . . . . 7
16 lkrin.g . . . . . . . 8
1716adantr 465 . . . . . . 7
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 34329 . . . . . 6 Scalar
19 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2012, 19, 8, 9lkrf0 34291 . . . . . . . 8 Scalar
213, 5, 6, 20syl3anc 1228 . . . . . . 7 Scalar
22 simprr 756 . . . . . . . 8
2312, 19, 8, 9lkrf0 34291 . . . . . . . 8 Scalar
243, 17, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . 7 Scalar
2521, 24oveq12d 6313 . . . . . 6 Scalar Scalar ScalarScalar
2612lmodring 17391 . . . . . . . . . 10 Scalar
272, 26syl 16 . . . . . . . . 9 Scalar
28 ringgrp 17075 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8 Scalar
30 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
3130, 19grpidcl 15950 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
3229, 31syl 16 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
3330, 13, 19grplid 15952 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . 7 Scalar ScalarScalar Scalar
3534adantr 465 . . . . . 6 Scalar ScalarScalar Scalar
3618, 25, 353eqtrd 2512 . . . . 5 Scalar
378, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 34328 . . . . . . 7
3837adantr 465 . . . . . 6
397, 12, 19, 8, 9ellkr 34287 . . . . . 6 Scalar
403, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5 Scalar
4111, 36, 40mpbir2and 920 . . . 4
4241ex 434 . . 3
431, 42syl5bi 217 . 2
4443ssrdv 3515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cin 3480   wss 3481  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   cplusg 14572  Scalarcsca 14575  c0g 14712  cgrp 15925  crg 17070  clmod 17383  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283  LDualcld 34321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-ldual 34322 This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  36709  lclkrlem2f  36710  lclkrlem2r  36722  lclkrlem2v  36726  lclkrslem2  36736  lcfrlem2  36741
 Copyright terms: Public domain W3C validator