Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrcl 33397
Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrcl ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)

Proof of Theorem lkrcl
StepHypRef Expression
1 lkrcl.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2610 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrcl.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ellkr 33394 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
76simprbda 651 . 2 (((𝑊𝑌𝐺𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
873impa 1251 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923  LFnlclfn 33362  LKerclk 33390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-lfl 33363  df-lkr 33391
This theorem is referenced by:  lkrlss  33400  lkrin  33469
  Copyright terms: Public domain W3C validator