MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Structured version   Unicode version

Theorem grplid 16279
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 16261 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndlid 16140 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 469 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929   Mndcmnd 16118   Grpcgrp 16252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256
This theorem is referenced by:  grprcan  16282  grpid  16284  isgrpid2  16285  grprinv  16296  grpinvid1  16297  grpinvid2  16298  grpinvid  16300  grplcan  16301  grpidlcan  16303  grplmulf1o  16311  grpidssd  16313  grpinvadd  16315  grpinvval2  16320  grplactcnv  16337  mulgdirlem  16365  imasgrp  16385  subg0  16406  issubg2  16415  issubg4  16419  0subg  16425  isnsg3  16434  nmzsubg  16441  ssnmz  16442  eqger  16450  eqgid  16452  qusgrp  16455  qus0  16458  ghmid  16472  conjghm  16496  conjnmz  16499  subgga  16537  cntzsubg  16573  sylow1lem2  16818  sylow2blem2  16840  sylow2blem3  16841  sylow3lem1  16846  lsmmod  16892  lsmdisj2  16899  pj1rid  16919  abladdsub4  17023  ablpncan2  17025  ablpnpcan  17029  ablnncan  17030  odadd1  17053  odadd2  17054  oddvdssubg  17060  dprdfadd  17255  dprdfaddOLD  17262  pgpfac1lem3a  17322  ringlz  17430  ringrz  17431  isabvd  17664  lmod0vlid  17737  lmod0vs  17740  psr0lid  18243  mplsubglem  18288  mplsubglemOLD  18290  mplcoe1  18322  evpmodpmf1o  18805  ocvlss  18876  lsmcss  18896  mdetunilem6  19286  mdetunilem9  19289  ghmcnp  20779  tgpt0  20783  qustgpopn  20784  mdegaddle  22640  ply1rem  22730  ogrpinvOLD  27939  ogrpinv0le  27940  ogrpaddltrbid  27945  ogrpinv0lt  27947  ogrpinvlt  27948  isarchi3  27965  archirngz  27967  archiabllem1b  27970  orngsqr  28029  ornglmulle  28030  orngrmulle  28031  ofldchr  28039  rnglz  32944  lfl0f  35191  lfladd0l  35196  lkrlss  35217  lkrin  35286  dvhgrp  37231  baerlem3lem1  37831  mapdh6bN  37861  hdmap1l6b  37936  hdmapinvlem3  38047  hdmapinvlem4  38048  hdmapglem7b  38055
  Copyright terms: Public domain W3C validator