MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grplid Structured version   Unicode version

Theorem grplid 15954
Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
grplid.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
grplid.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
grplid  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )

Proof of Theorem grplid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 15936 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2 grpbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 grplid.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 grplid.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
52, 3, 4mndlid 15815 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
61, 5sylan 471 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .+  X
)  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   +g cplusg 14574   0gc0g 14714   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931
This theorem is referenced by:  grprcan  15957  grpid  15959  isgrpid2  15960  grprinv  15971  grpinvid1  15972  grpinvid2  15973  grpinvid  15975  grplcan  15976  grpidlcan  15978  grplmulf1o  15986  grpidssd  15988  grpinvadd  15990  grpinvval2  15995  grplactcnv  16012  mulgdirlem  16040  imasgrp  16060  subg0  16081  issubg2  16090  issubg4  16094  0subg  16100  isnsg3  16109  nmzsubg  16116  ssnmz  16117  eqger  16125  eqgid  16127  qusgrp  16130  qus0  16133  ghmid  16147  conjghm  16171  conjnmz  16174  subgga  16212  cntzsubg  16248  sylow1lem2  16493  sylow2blem2  16515  sylow2blem3  16516  sylow3lem1  16521  lsmmod  16567  lsmdisj2  16574  pj1rid  16594  abladdsub4  16698  ablpncan2  16700  ablpnpcan  16704  ablnncan  16705  odadd1  16728  odadd2  16729  oddvdssubg  16735  dprdfadd  16934  dprdfaddOLD  16941  pgpfac1lem3a  17001  ringlz  17109  ringrz  17110  isabvd  17343  lmod0vlid  17416  lmod0vs  17419  psr0lid  17922  mplsubglem  17967  mplsubglemOLD  17969  mplcoe1  18001  evpmodpmf1o  18505  ocvlss  18576  lsmcss  18596  mdetunilem6  18992  mdetunilem9  18995  ghmcnp  20486  tgpt0  20490  qustgpopn  20491  mdegaddle  22347  ply1rem  22437  ogrpinvOLD  27578  ogrpinv0le  27579  ogrpaddltrbid  27584  ogrpinv0lt  27586  ogrpinvlt  27587  isarchi3  27604  archirngz  27606  archiabllem1b  27609  orngsqr  27667  ornglmulle  27668  orngrmulle  27669  ofldchr  27677  lfl0f  34534  lfladd0l  34539  lkrlss  34560  lkrin  34629  dvhgrp  36574  baerlem3lem1  37174  mapdh6bN  37204  hdmap1l6b  37279  hdmapinvlem3  37390  hdmapinvlem4  37391  hdmapglem7b  37398
  Copyright terms: Public domain W3C validator