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Theorem issubg4 15811
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg4.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .- , y    x, S, y

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 15793 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
43subg0cl 15800 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
5 ne0i 3744 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
7 issubg4.p . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
87subgsubcl 15803 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .-  y )  e.  S )
983expb 1189 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .-  y )  e.  S
)
109ralrimivva 2907 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
112, 6, 103jca 1168 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
) )
12 simplrl 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  C_  B
)
13 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  =/=  (/) )
14 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
15 r19.2z 3870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
1614, 15sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
17 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .-  y )  =  ( x  .-  x ) )
1817eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( x  .-  x )  e.  S
) )
1918rspcv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x  .-  x )  e.  S ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( x 
.-  x )  e.  S ) )
21 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  B )
2221sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
231, 3, 7grpsubid 15721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .-  x
)  =  ( 0g
`  G ) )
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2522, 24syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2625eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
x  .-  x )  e.  S  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
2720, 26sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  S ) )
2827rexlimdva 2940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g `  G
)  e.  S ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3016, 29syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
31 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
32 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .-  y ) )
3332eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3433ralbidv 2841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3534rspcv 3168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3630, 31, 35sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
)
371, 3grpidcl 15677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
3921sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  y  e.  B )
40 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
421, 40, 41, 7grpsubval 15692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y
)  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
4338, 39, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
44 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  G  e.  Grp )
451, 41grpinvcl 15694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
4644, 39, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  B )
471, 40, 3grplid 15679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
4844, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
4943, 48eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
5049eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S ) )
5150ralbidva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( ( 0g
`  G )  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5336, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )
54 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  ( ( invg `  G
) `  z )
)
5554eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S  <->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  S ) )
5655rspccva 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S )
5756ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S )
58 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( x  .-  y
)  =  ( x 
.-  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
5958eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .-  y )  e.  S  <->  ( x  .-  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
6059rspcv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
62 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
63 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
65 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6664, 65sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  B )
67 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
6864, 67sseldd 3458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  B )
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 15710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( x ( +g  `  G
) z ) )
7069eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7161, 70sylibd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7271anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7372ralrimdva 2905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7473ralimdva 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7574impancom 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
77 oveq1 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
7877eleq1d 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7978ralbidv 2841 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
8079cbvralv 3046 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. z  e.  S  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S )
8176, 80sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
82 r19.26 2948 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  <-> 
( A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
8381, 53, 82sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) )
8412, 13, 833jca 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) ) )
8584exp42 611 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  C_  B  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( S 
C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) ) ) )
86853impd 1202 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) )
871, 40, 41issubg2 15807 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) ) ) )
8886, 87sylibrd 234 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
) )
8911, 88impbid2 204 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3429   (/)c0 3738   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   0gc0g 14489   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522   -gcsg 15524  SubGrpcsubg 15786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-subg 15789
This theorem is referenced by:  dprdsubg  16635  clssubg  19804  tgpconcomp  19808  dmatsgrp  31035  scmatsgrp  31042  scmatsgrp1  31046
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