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Theorem issubg4 16778
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg4.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .- , y    x, S, y

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 16760 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
43subg0cl 16767 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
5 ne0i 3773 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
7 issubg4.p . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
87subgsubcl 16770 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .-  y )  e.  S )
983expb 1206 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .-  y )  e.  S
)
109ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
112, 6, 103jca 1185 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
) )
12 simplrl 768 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  C_  B
)
13 simplrr 769 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  =/=  (/) )
14 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
15 r19.2z 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
1614, 15sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
17 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .-  y )  =  ( x  .-  x ) )
1817eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( x  .-  x )  e.  S
) )
1918rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x  .-  x )  e.  S ) )
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( x 
.-  x )  e.  S ) )
21 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  B )
2221sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
231, 3, 7grpsubid 16680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .-  x
)  =  ( 0g
`  G ) )
2423adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2522, 24syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2625eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
x  .-  x )  e.  S  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
2720, 26sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  S ) )
2827rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g `  G
)  e.  S ) )
2928imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3016, 29syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
31 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
32 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .-  y ) )
3332eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3433ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3534rspcv 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3630, 31, 35sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
)
371, 3grpidcl 16636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
3837ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
3921sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  y  e.  B )
40 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
421, 40, 41, 7grpsubval 16651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y
)  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
4338, 39, 42syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) )
44 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  G  e.  Grp )
451, 41grpinvcl 16653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
4644, 39, 45syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  B )
471, 40, 3grplid 16638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
4844, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( invg `  G ) `  y
) )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
4943, 48eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( invg `  G ) `  y
) )
5049eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S ) )
5150ralbidva 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( ( 0g
`  G )  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5251adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5336, 52mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )
54 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  ( ( invg `  G
) `  z )
)
5554eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S  <->  ( ( invg `  G ) `
 z )  e.  S ) )
5655rspccva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S )
5756ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S )
58 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( x  .-  y
)  =  ( x 
.-  ( ( invg `  G ) `
 z ) ) )
5958eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( invg `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .-  y )  e.  S  <->  ( x  .-  ( ( invg `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
6059rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( invg `  G ) `  z
)  e.  S  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
62 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
63 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
6463adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
65 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6664, 65sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  B )
67 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
6864, 67sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  B )
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 16669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  .-  (
( invg `  G ) `  z
) )  =  ( x ( +g  `  G
) z ) )
7069eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .-  ( ( invg `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7161, 70sylibd 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7271anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7372ralrimdva 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7473ralimdva 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7574impancom 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
77 oveq1 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
7877eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7978ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
8079cbvralv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. z  e.  S  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S )
8176, 80sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
82 r19.26 2962 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S )  <-> 
( A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) )
8381, 53, 82sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) )
8412, 13, 833jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) ) )
8584exp42 614 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  C_  B  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( S 
C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) ) ) )
86853impd 1219 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( invg `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) )
871, 40, 41issubg2 16774 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  S ) ) ) )
8886, 87sylibrd 237 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
) )
8911, 88impbid2 207 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15075   +g cplusg 15143   0gc0g 15288   Grpcgrp 16611   invgcminusg 16612   -gcsg 16613  SubGrpcsubg 16753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-0g 15290  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-sbg 16617  df-subg 16756
This theorem is referenced by:  dprdsubg  17583  dmatsgrp  19446  scmatsgrp  19466  scmatsgrp1  19469  clssubg  21045  tgpconcomp  21049
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