Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scmatsgrp1 Structured version   Unicode version

Theorem scmatsgrp1 31069
 Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a Mat
scmatid.b
scmatid.e
scmatid.0
scmatid.d
scmatsgrp1.s
scmatsgrp1.c s
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1 SubGrp
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,)

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . . 6 Mat
2 scmatid.b . . . . . 6
3 scmatid.e . . . . . 6
4 scmatid.0 . . . . . 6
5 scmatid.d . . . . . 6
6 scmatsgrp1.s . . . . . 6
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 31063 . . . . 5
87ancoms 453 . . . 4
98ssrdv 3471 . . 3
101, 2, 4, 6dmatsgrp 31058 . . . . 5 SubGrp
1110ancoms 453 . . . 4 SubGrp
12 scmatsgrp1.c . . . . . 6 s
1312subgbas 15805 . . . . 5 SubGrp
1413eqcomd 2462 . . . 4 SubGrp
1511, 14syl 16 . . 3
169, 15sseqtr4d 3502 . 2
171, 2, 3, 4, 5scmatid 31062 . . 3
18 ne0i 3752 . . 3
1917, 18syl 16 . 2
2011adantr 465 . . . . 5 SubGrp
218com12 31 . . . . . . 7
2221adantr 465 . . . . . 6
2322impcom 430 . . . . 5
241, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 31063 . . . . . . . 8
2524ancoms 453 . . . . . . 7
2625a1d 25 . . . . . 6
2726imp32 433 . . . . 5
28 eqid 2454 . . . . . . 7
29 eqid 2454 . . . . . . 7
3028, 12, 29subgsub 15813 . . . . . 6 SubGrp
3130eqcomd 2462 . . . . 5 SubGrp
3220, 23, 27, 31syl3anc 1219 . . . 4
331, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 31064 . . . 4
3432, 33eqeltrd 2542 . . 3
3534ralrimivva 2914 . 2
361, 2, 4, 6dmatsrng 31060 . . . . 5 SubRing
3736ancoms 453 . . . 4 SubRing
3812subrgrng 16992 . . . 4 SubRing
3937, 38syl 16 . . 3
40 rnggrp 16774 . . 3
41 eqid 2454 . . . 4
4241, 29issubg4 15820 . . 3 SubGrp
4339, 40, 423syl 20 . 2 SubGrp
4416, 19, 35, 43mpbir3and 1171 1 SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  wral 2799  wrex 2800  crab 2803   wss 3437  c0 3746  cif 3900  cfv 5527  (class class class)co 6201  cfn 7421  cbs 14293   ↾s cress 14294  c0g 14498  cgrp 15530  csg 15533  SubGrpcsubg 15795  cur 16726  crg 16769  SubRingcsubrg 16985   Mat cmat 18406 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mamu 18407  df-mat 18408 This theorem is referenced by:  scmatsrng1  31070
 Copyright terms: Public domain W3C validator