Theorem scmatsgrp1 18831

Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.s	|- S = ( N ScMat R )
scmatsgrp1.d	|- D = ( N DMat R )
scmatsgrp1.c	|- C = ( A ↾s D )

Assertion

Ref	Expression
scmatsgrp1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Proof of Theorem scmatsgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		scmatid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		scmatid.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
4		scmatid.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
5		scmatid.s	. . . . 5 |- S = ( N ScMat R )
6		scmatsgrp1.d	. . . . 5 |- D = ( N DMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 18824	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> x e. D ) )
8	7	ssrdv 3510	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ D )
9	1, 2, 4, 6	dmatsgrp 18808	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
10	9	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
11		scmatsgrp1.c	. . . . . 6 |- C = ( A ↾s D )
12	11	subgbas 16019	. . . . 5 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> D = ( Base ` C ) )
13	12	eqcomd 2475	. . . 4 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> ( Base ` C ) = D )
14	10, 13	syl 16	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` C ) = D )
15	8, 14	sseqtr4d 3541	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ ( Base ` C ) )
16	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 18823	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. S )
17		ne0i 3791	. . 3 |- ( ( 1r ` A ) e. S -> S =/= (/) )
18	16, 17	syl 16	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S =/= (/) )
19	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
20	7	com12 31	. . . . . . 7 |- ( x e. S -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
21	20	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
22	21	impcom 430	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. D )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 18824	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> y e. D ) )
24	23	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> y e. D ) ) )
25	24	imp32 433	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. D )
26		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( -g ` A ) = ( -g ` A )
27		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
28	26, 11, 27	subgsub 16027	. . . . . 6 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` A ) y ) = ( x ( -g ` C ) y ) )
29	28	eqcomd 2475	. . . . 5 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
30	19, 22, 25, 29	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
31	1, 2, 3, 4, 5	scmatsubcl 18826	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` A ) y ) e. S )
32	30, 31	eqeltrd 2555	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
33	32	ralrimivva 2885	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
34	1, 2, 4, 6	dmatsrng 18810	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubRing ` A ) )
35	34	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubRing ` A ) )
36	11	subrgrng 17244	. . . 4 |- ( D e. (SubRing ` A ) -> C e. Ring )
37	35, 36	syl 16	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
38		rnggrp 17017	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
39		eqid 2467	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
40	39, 27	issubg4 16034	. . 3 |- ( C e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
41	37, 38, 40	3syl 20	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
42	15, 18, 33, 41	mpbir3and 1179	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   Basecbs 14493   ↾_s cress 14494   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   -gcsg 15733  SubGrpcsubg 16009   1rcur 16967   Ringcrg 17012  SubRingcsubrg 17237   Mat cmat 18716   DMat cdmat 18797   ScMat cscmat 18798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717  df-dmat 18799  df-scmat 18800

This theorem is referenced by:  scmatsrng1  18832