Theorem scmatsgrp1 31069

Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.d	|- D = { m e. B | E. c e. E A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , .0. ) }
scmatsgrp1.s	|- S = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) }
scmatsgrp1.c	|- C = ( A ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
scmatsgrp1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubGrp ` C ) )

Distinct variable groups:   A, c, i, j, m   B, m   E, c, m   N, c, i, j, m   R, c, i, j   .0. , m   B, c, i, j   D, c, i, j   i, E, j   .0. , c   R, m   .0. , i, j   S, i, j

Allowed substitution hints:   C( i, j, m, c)   D( m)   S( m, c)

Proof of Theorem scmatsgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
2		scmatid.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
3		scmatid.e	. . . . . 6 |- E = ( Base ` R )
4		scmatid.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
5		scmatid.d	. . . . . 6 |- D = { m e. B | E. c e. E A. i e. N A. j e. N ( i m j ) = if ( i = j , c , .0. ) }
6		scmatsgrp1.s	. . . . . 6 |- S = { m e. B | A. i e. N A. j e. N ( i =/= j -> ( i m j ) = .0. ) }
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 31063	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( x e. D -> x e. S ) )
8	7	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. D -> x e. S ) )
9	8	ssrdv 3471	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D C_ S )
10	1, 2, 4, 6	dmatsgrp 31058	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> S e. (SubGrp ` A ) )
11	10	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` A ) )
12		scmatsgrp1.c	. . . . . 6 |- C = ( A ↾s S )
13	12	subgbas 15805	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` A ) -> S = ( Base ` C ) )
14	13	eqcomd 2462	. . . 4 |- ( S e. (SubGrp ` A ) -> ( Base ` C ) = S )
15	11, 14	syl 16	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` C ) = S )
16	9, 15	sseqtr4d 3502	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D C_ ( Base ` C ) )
17	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 31062	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. D )
18		ne0i 3752	. . 3 |- ( ( 1r ` A ) e. D -> D =/= (/) )
19	17, 18	syl 16	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D =/= (/) )
20	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> S e. (SubGrp ` A ) )
21	8	com12 31	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. S ) )
22	21	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. S ) )
23	22	impcom 430	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> x e. S )
24	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 31063	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( y e. D -> y e. S ) )
25	24	ancoms 453	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. D -> y e. S ) )
26	25	a1d 25	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. D -> ( y e. D -> y e. S ) ) )
27	26	imp32 433	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> y e. S )
28		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( -g ` A ) = ( -g ` A )
29		eqid 2454	. . . . . . 7 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
30	28, 12, 29	subgsub 15813	. . . . . 6 |- ( ( S e. (SubGrp ` A ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x ( -g ` A ) y ) = ( x ( -g ` C ) y ) )
31	30	eqcomd 2462	. . . . 5 |- ( ( S e. (SubGrp ` A ) /\ x e. S /\ y e. S ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
32	20, 23, 27, 31	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
33	1, 2, 3, 4, 5	scmatsubcl 31064	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( -g ` A ) y ) e. D )
34	32, 33	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) e. D )
35	34	ralrimivva 2914	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. D A. y e. D ( x ( -g ` C ) y ) e. D )
36	1, 2, 4, 6	dmatsrng 31060	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> S e. (SubRing ` A ) )
37	36	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubRing ` A ) )
38	12	subrgrng 16992	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> C e. Ring )
39	37, 38	syl 16	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
40		rnggrp 16774	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
41		eqid 2454	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
42	41, 29	issubg4 15820	. . 3 |- ( C e. Grp -> ( D e. (SubGrp ` C ) <-> ( D C_ ( Base ` C ) /\ D =/= (/) /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( -g ` C ) y ) e. D ) ) )
43	39, 40, 42	3syl 20	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( D e. (SubGrp ` C ) <-> ( D C_ ( Base ` C ) /\ D =/= (/) /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( -g ` C ) y ) e. D ) ) )
44	16, 19, 35, 43	mpbir3and 1171	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubGrp ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   C_ wss 3437   (/)c0 3746   ifcif 3900   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   Basecbs 14293   ↾_s cress 14294   0gc0g 14498   Grpcgrp 15530   -gcsg 15533  SubGrpcsubg 15795   1rcur 16726   Ringcrg 16769  SubRingcsubrg 16985   Mat cmat 18406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mamu 18407  df-mat 18408

This theorem is referenced by:  scmatsrng1  31070