Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  scmatsgrp1 Structured version   Unicode version

Theorem scmatsgrp1 31069
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.d  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
scmatsgrp1.s  |-  S  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
scmatsgrp1.c  |-  C  =  ( As  S )
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  e.  (SubGrp `  C
) )
Distinct variable groups:    A, c,
i, j, m    B, m    E, c, m    N, c, i, j, m    R, c, i, j    .0. , m    B, c, i, j    D, c, i, j    i, E, j    .0. , c    R, m    .0. , i, j    S, i, j
Allowed substitution hints:    C( i, j, m, c)    D( m)    S( m, c)

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 scmatid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 scmatid.e . . . . . 6  |-  E  =  ( Base `  R
)
4 scmatid.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 scmatid.d . . . . . 6  |-  D  =  { m  e.  B  |  E. c  e.  E  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i m j )  =  if ( i  =  j ,  c ,  .0.  ) }
6 scmatsgrp1.s . . . . . 6  |-  S  =  { m  e.  B  |  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i  =/=  j  ->  ( i m j )  =  .0.  ) }
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 31063 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
x  e.  D  ->  x  e.  S )
)
87ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  D  ->  x  e.  S ) )
98ssrdv 3471 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  C_  S )
101, 2, 4, 6dmatsgrp 31058 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  S  e.  (SubGrp `  A )
)
1110ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubGrp `  A
) )
12 scmatsgrp1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( As  S )
1312subgbas 15805 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  A
)  ->  S  =  ( Base `  C )
)
1413eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  A
)  ->  ( Base `  C )  =  S )
1511, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  C )  =  S )
169, 15sseqtr4d 3502 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  C_  ( Base `  C
) )
171, 2, 3, 4, 5scmatid 31062 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  D )
18 ne0i 3752 . . 3  |-  ( ( 1r `  A )  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  =/=  (/) )
2011adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  S  e.  (SubGrp `  A )
)
218com12 31 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  x  e.  S ) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  x  e.  S ) )
2322impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  S )
241, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 31063 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  (
y  e.  D  -> 
y  e.  S ) )
2524ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  D  ->  y  e.  S ) )
2625a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  D  ->  ( y  e.  D  ->  y  e.  S ) ) )
2726imp32 433 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  S )
28 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
29 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
3028, 12, 29subgsub 15813 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  A )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  =  ( x ( -g `  C ) y ) )
3130eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  A )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  =  ( x ( -g `  A ) y ) )
3220, 23, 27, 31syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  =  ( x ( -g `  A ) y ) )
331, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 31064 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  e.  D )
3432, 33eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  e.  D )
3534ralrimivva 2914 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x ( -g `  C ) y )  e.  D )
361, 2, 4, 6dmatsrng 31060 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  S  e.  (SubRing `  A )
)
3736ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubRing `  A
) )
3812subrgrng 16992 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  A
)  ->  C  e.  Ring )
3937, 38syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
40 rnggrp 16774 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
41 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
4241, 29issubg4 15820 . . 3  |-  ( C  e.  Grp  ->  ( D  e.  (SubGrp `  C
)  <->  ( D  C_  ( Base `  C )  /\  D  =/=  (/)  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( -g `  C
) y )  e.  D ) ) )
4339, 40, 423syl 20 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( D  e.  (SubGrp `  C )  <->  ( D  C_  ( Base `  C
)  /\  D  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x ( -g `  C ) y )  e.  D ) ) )
4416, 19, 35, 43mpbir3and 1171 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  e.  (SubGrp `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ifcif 3900   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   0gc0g 14498   Grpcgrp 15530   -gcsg 15533  SubGrpcsubg 15795   1rcur 16726   Ringcrg 16769  SubRingcsubrg 16985   Mat cmat 18406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-subrg 16987  df-lmod 17074  df-lss 17138  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mamu 18407  df-mat 18408
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  31070
  Copyright terms: Public domain W3C validator