Theorem scmatsgrp1 19478

Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.s	|- S = ( N ScMat R )
scmatsgrp1.d	|- D = ( N DMat R )
scmatsgrp1.c	|- C = ( A ↾s D )

Assertion

Ref	Expression
scmatsgrp1	|- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Proof of Theorem scmatsgrp1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		scmatid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		scmatid.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
4		scmatid.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
5		scmatid.s	. . . . 5 |- S = ( N ScMat R )
6		scmatsgrp1.d	. . . . 5 |- D = ( N DMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 19471	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> x e. D ) )
8	7	ssrdv 3476	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ D )
9	1, 2, 4, 6	dmatsgrp 19455	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
10	9	ancoms 454	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
11		scmatsgrp1.c	. . . . . 6 |- C = ( A ↾s D )
12	11	subgbas 16772	. . . . 5 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> D = ( Base ` C ) )
13	12	eqcomd 2437	. . . 4 |- ( D e. (SubGrp ` A ) -> ( Base ` C ) = D )
14	10, 13	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` C ) = D )
15	8, 14	sseqtr4d 3507	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S C_ ( Base ` C ) )
16	1, 2, 3, 4, 5	scmatid 19470	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. S )
17		ne0i 3773	. . 3 |- ( ( 1r ` A ) e. S -> S =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S =/= (/) )
19	10	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> D e. (SubGrp ` A ) )
20	7	com12 32	. . . . . . 7 |- ( x e. S -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
21	20	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> x e. D ) )
22	21	impcom 431	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. D )
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatdmat 19471	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> y e. D ) )
24	23	a1d 26	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> ( y e. S -> y e. D ) ) )
25	24	imp32 434	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. D )
26		eqid 2429	. . . . . . 7 |- ( -g ` A ) = ( -g ` A )
27		eqid 2429	. . . . . . 7 |- ( -g ` C ) = ( -g ` C )
28	26, 11, 27	subgsub 16780	. . . . . 6 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` A ) y ) = ( x ( -g ` C ) y ) )
29	28	eqcomd 2437	. . . . 5 |- ( ( D e. (SubGrp ` A ) /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
30	19, 22, 25, 29	syl3anc 1264	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) = ( x ( -g ` A ) y ) )
31	1, 2, 3, 4, 5	scmatsubcl 19473	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` A ) y ) e. S )
32	30, 31	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
33	32	ralrimivva 2853	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S )
34	1, 2, 4, 6	dmatsrng 19457	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> D e. (SubRing ` A ) )
35	34	ancoms 454	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> D e. (SubRing ` A ) )
36	11	subrgring 17946	. . . 4 |- ( D e. (SubRing ` A ) -> C e. Ring )
37	35, 36	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
38		ringgrp 17720	. . 3 |- ( C e. Ring -> C e. Grp )
39		eqid 2429	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
40	39, 27	issubg4 16787	. . 3 |- ( C e. Grp -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
41	37, 38, 40	3syl 18	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( S e. (SubGrp ` C ) <-> ( S C_ ( Base ` C ) /\ S =/= (/) /\ A. x e. S A. y e. S ( x ( -g ` C ) y ) e. S ) ) )
42	15, 18, 33, 41	mpbir3and 1188	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubGrp ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   C_ wss 3442   (/)c0 3767   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   Basecbs 15084   ↾_s cress 15085   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   -gcsg 16622  SubGrpcsubg 16762   1rcur 17670   Ringcrg 17715  SubRingcsubrg 17939   Mat cmat 19363   DMat cdmat 19444   ScMat cscmat 19445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-dmat 19446  df-scmat 19447

This theorem is referenced by:  scmatsrng1  19479