MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsgrp1 Structured version   Unicode version

Theorem scmatsgrp1 18831
Description: The set of scalar matrices is a subgroup of the group/ring of diagonal matrices. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatid.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
scmatid.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
scmatid.s  |-  S  =  ( N ScMat  R )
scmatsgrp1.d  |-  D  =  ( N DMat  R )
scmatsgrp1.c  |-  C  =  ( As  D )
Assertion
Ref Expression
scmatsgrp1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubGrp `  C
) )

Proof of Theorem scmatsgrp1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 scmatid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 scmatid.e . . . . 5  |-  E  =  ( Base `  R
)
4 scmatid.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 scmatid.s . . . . 5  |-  S  =  ( N ScMat  R )
6 scmatsgrp1.d . . . . 5  |-  D  =  ( N DMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 18824 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  x  e.  D ) )
87ssrdv 3510 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  C_  D )
91, 2, 4, 6dmatsgrp 18808 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  e.  (SubGrp `  A )
)
109ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  e.  (SubGrp `  A
) )
11 scmatsgrp1.c . . . . . 6  |-  C  =  ( As  D )
1211subgbas 16019 . . . . 5  |-  ( D  e.  (SubGrp `  A
)  ->  D  =  ( Base `  C )
)
1312eqcomd 2475 . . . 4  |-  ( D  e.  (SubGrp `  A
)  ->  ( Base `  C )  =  D )
1410, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  C )  =  D )
158, 14sseqtr4d 3541 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  C_  ( Base `  C
) )
161, 2, 3, 4, 5scmatid 18823 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  S )
17 ne0i 3791 . . 3  |-  ( ( 1r `  A )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  =/=  (/) )
1910adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  D  e.  (SubGrp `  A )
)
207com12 31 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  S  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  x  e.  D ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  x  e.  D ) )
2221impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  x  e.  D )
231, 2, 3, 4, 5, 6scmatdmat 18824 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( y  e.  S  ->  y  e.  D ) )
2423a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  y  e.  D ) ) )
2524imp32 433 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  y  e.  D )
26 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( -g `  A )  =  (
-g `  A )
27 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
2826, 11, 27subgsub 16027 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (SubGrp `  A )  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  =  ( x ( -g `  C ) y ) )
2928eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (SubGrp `  A )  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  =  ( x ( -g `  A ) y ) )
3019, 22, 25, 29syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  =  ( x ( -g `  A ) y ) )
311, 2, 3, 4, 5scmatsubcl 18826 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( -g `  A
) y )  e.  S )
3230, 31eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x ( -g `  C
) y )  e.  S )
3332ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( -g `  C ) y )  e.  S )
341, 2, 4, 6dmatsrng 18810 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin )  ->  D  e.  (SubRing `  A )
)
3534ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  D  e.  (SubRing `  A
) )
3611subrgrng 17244 . . . 4  |-  ( D  e.  (SubRing `  A
)  ->  C  e.  Ring )
3735, 36syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
38 rnggrp 17017 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
39 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
4039, 27issubg4 16034 . . 3  |-  ( C  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  C
)  <->  ( S  C_  ( Base `  C )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( -g `  C
) y )  e.  S ) ) )
4137, 38, 403syl 20 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  C )  <->  ( S  C_  ( Base `  C
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( -g `  C ) y )  e.  S ) ) )
4215, 18, 33, 41mpbir3and 1179 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  S  e.  (SubGrp `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   -gcsg 15733  SubGrpcsubg 16009   1rcur 16967   Ringcrg 17012  SubRingcsubrg 17237   Mat cmat 18716   DMat cdmat 18797   ScMat cscmat 18798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717  df-dmat 18799  df-scmat 18800
This theorem is referenced by:  scmatsrng1  18832
  Copyright terms: Public domain W3C validator