Theorem abvres 18662

Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvres.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
abvres.b	⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
abvres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvres.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3		abvres.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐶)
4	3	subrgbas 18612	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
7	3, 6	ressplusg 15818	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
9		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10	3, 9	ressmulr 15829	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12		subrgsubg 18609	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subg0 17423	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
16	13, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝑆))
17	3	subrgring 18606	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
18	17	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19		abvres.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 20	abvf 18646	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
22	20	subrgss 18604	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23		fssres 5983	. . 3 ⊢ ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
24	21, 22, 23	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶ℝ)
25	14	subg0cl 17425	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐶)
26		fvres 6117	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
27	13, 25, 26	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = (𝐹‘(0g‘𝑅)))
28	19, 14	abv0 18654	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g‘𝑅)) = 0)
30	27, 29	eqtrd 2644	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(0g‘𝑅)) = 0)
31		simp1l 1078	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐴)
32	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
33	32	sselda 3568	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34	33	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1056	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
36	19, 20, 14	abvgt0 18651	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < (𝐹‘𝑥))
38		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
39	38	3ad2ant2 1076	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
40	37, 39	breqtrrd 4611	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → 0 < ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥))
41		simp1l 1078	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐹 ∈ 𝐴)
42		simp1r 1079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
43	42, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44		simp2l 1080	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ 𝐶)
45	43, 44	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46		simp3l 1082	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
47	43, 46	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
48	19, 20, 9	abvmul 18652	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
49	41, 45, 47, 48	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
50	9	subrgmcl 18615	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
51	42, 44, 46, 50	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52		fvres 6117	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
54	44, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
55		fvres 6117	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
56	46, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
57	54, 56	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
58	49, 53, 57	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) = (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) · ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
59	19, 20, 6	abvtri 18653	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
60	41, 45, 47, 59	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
61	6	subrgacl 18614	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
62	42, 44, 46, 61	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
63		fvres 6117	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
64	62, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)))
65	54, 56	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
66	60, 64, 65	3brtr4d 4615	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘(𝑥(+g‘𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) + ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑦)))
67	2, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 58, 66	isabvd 18643	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923  SubGrpcsubg 17411  Ringcrg 18370  SubRingcsubrg 18599  AbsValcabv 18639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ico 12052  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-abv 18640

This theorem is referenced by:  subrgnrg  22287  qabsabv  25118