Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Unicode version

Theorem subrgugrp 17766
 Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 s
subrgugrp.2 Unit
subrgugrp.3 Unit
subrgugrp.4 mulGrps
Assertion
Ref Expression
subrgugrp SubRing SubGrp

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 s
2 subrgugrp.2 . . 3 Unit
3 subrgugrp.3 . . 3 Unit
41, 2, 3subrguss 17762 . 2 SubRing
51subrgring 17750 . . 3 SubRing
6 eqid 2402 . . . 4
73, 61unit 17625 . . 3
8 ne0i 3743 . . 3
95, 7, 83syl 20 . 2 SubRing
10 eqid 2402 . . . . . . . . . 10
111, 10ressmulr 14964 . . . . . . . . 9 SubRing
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 SubRing
1312oveqd 6294 . . . . . . 7 SubRing
14 eqid 2402 . . . . . . . . 9
153, 14unitmulcl 17631 . . . . . . . 8
165, 15syl3an1 1263 . . . . . . 7 SubRing
1713, 16eqeltrd 2490 . . . . . 6 SubRing
18173expa 1197 . . . . 5 SubRing
1918ralrimiva 2817 . . . 4 SubRing
20 eqid 2402 . . . . . 6
21 eqid 2402 . . . . . 6
221, 20, 3, 21subrginv 17763 . . . . 5 SubRing
233, 21unitinvcl 17641 . . . . . 6
245, 23sylan 469 . . . . 5 SubRing
2522, 24eqeltrd 2490 . . . 4 SubRing
2619, 25jca 530 . . 3 SubRing
2726ralrimiva 2817 . 2 SubRing
28 subrgrcl 17752 . . 3 SubRing
29 subrgugrp.4 . . . 4 mulGrps
302, 29unitgrp 17634 . . 3
312, 29unitgrpbas 17633 . . . 4
32 fvex 5858 . . . . . 6 Unit
332, 32eqeltri 2486 . . . . 5
34 eqid 2402 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
3534, 10mgpplusg 17463 . . . . . 6 mulGrp
3629, 35ressplusg 14953 . . . . 5
3733, 36ax-mp 5 . . . 4
382, 29, 20invrfval 17640 . . . 4
3931, 37, 38issubg2 16538 . . 3 SubGrp
4028, 30, 393syl 20 . 2 SubRing SubGrp
414, 9, 27, 40mpbir3and 1180 1 SubRing SubGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  cvv 3058   wss 3413  c0 3737  cfv 5568  (class class class)co 6277   ↾s cress 14840   cplusg 14907  cmulr 14908  cgrp 16375  SubGrpcsubg 16517  mulGrpcmgp 17459  cur 17471  crg 17516  Unitcui 17606  cinvr 17638  SubRingcsubrg 17743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-subg 16520  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-subrg 17745 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator