Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmmgm 41715
 Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmmgm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlbas 41713 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4 eleq1a 2683 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
53, 4mpd 15 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
65anim2i 591 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
76adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
81, 2lidlssbas 41712 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
109sseld 3567 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1110com12 32 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1312impcom 445 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14 simprr 792 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
171, 15, 16lidlmcl 19038 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
187, 13, 14, 17syl12anc 1316 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
1918ralrimivva 2954 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20 fvex 6113 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21 eqid 2610 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
2321, 22mgpbas 18318 . . . . 5 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2521, 24mgpplusg 18316 . . . . 5 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
2623, 25ismgm 17066 . . . 4 ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
2720, 26mp1i 13 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
282, 16ressmulr 15829 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2928eqcomd 2616 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3029adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3130oveqdr 6573 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3231eleq1d 2672 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33322ralbidva 2971 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3427, 33bitrd 267 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3519, 34mpbird 246 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  .rcmulr 15769  Mgmcmgm 17063  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995 This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  41716
 Copyright terms: Public domain W3C validator