MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprring 18454
Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprring (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprring
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2opprbas 18452 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
43a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂))
5 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
61, 5oppradd 18453 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
76a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑂))
8 eqidd 2611 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑂) = (.r𝑂))
9 ringgrp 18375 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
103, 6grpprop 17261 . . 3 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝑂 ∈ Grp)
119, 10sylib 207 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Grp)
12 eqid 2610 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
13 eqid 2610 . . . 4 (.r𝑂) = (.r𝑂)
142, 12, 1, 13opprmul 18449 . . 3 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
152, 12ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
16153com23 1263 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
1714, 16syl5eqel 2692 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18 simpl 472 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
19 simpr3 1062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20 simpr2 1061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 simpr1 1060 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
222, 12ringass 18387 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1320 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)))
2423eqcomd 2616 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥))
2514oveq1i 6559 . . . 4 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧)
262, 12, 1, 13opprmul 18449 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
2725, 26eqtri 2632 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑦(.r𝑅)𝑥))
282, 12, 1, 13opprmul 18449 . . . . 5 (𝑦(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑦)
2928oveq2i 6560 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
302, 12, 1, 13opprmul 18449 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)(𝑧(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3129, 30eqtri 2632 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑦)(.r𝑅)𝑥)
3224, 27, 313eqtr4g 2669 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑥(.r𝑂)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
332, 5, 12ringdir 18390 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1320 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥)))
352, 12, 1, 13opprmul 18449 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧)(.r𝑅)𝑥)
362, 12, 1, 13opprmul 18449 . . . 4 (𝑥(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)𝑥)
3714, 36oveq12i 6561 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑦(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑥))
3834, 35, 373eqtr4g 2669 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑂)(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑂)𝑦)(+g𝑅)(𝑥(.r𝑂)𝑧)))
392, 5, 12ringdi 18389 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1320 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦)))
412, 12, 1, 13opprmul 18449 . . 3 ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = (𝑧(.r𝑅)(𝑥(+g𝑅)𝑦))
4236, 28oveq12i 6561 . . 3 ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)) = ((𝑧(.r𝑅)𝑥)(+g𝑅)(𝑧(.r𝑅)𝑦))
4340, 41, 423eqtr4g 2669 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦)(.r𝑂)𝑧) = ((𝑥(.r𝑂)𝑧)(+g𝑅)(𝑦(.r𝑂)𝑧)))
44 eqid 2610 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
452, 44ringidcl 18391 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
462, 12, 1, 13opprmul 18449 . . 3 ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅))
472, 12, 44ringridm 18395 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑥)
4846, 47syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑂)𝑥) = 𝑥)
492, 12, 1, 13opprmul 18449 . . 3 (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥)
502, 12, 44ringlidm 18394 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑥) = 𝑥)
5149, 50syl5eq 2656 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r𝑂)(1r𝑅)) = 𝑥)
524, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51isringd 18408 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370  opprcoppr 18445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446
This theorem is referenced by:  opprringb  18455  mulgass3  18460  1unit  18481  unitmulcl  18487  unitnegcl  18504  irredlmul  18531  isdrngrd  18596  issrngd  18684  2idlcpbl  19055  opprnzr  19086  ply1divalg2  23702  lduallmodlem  33457
  Copyright terms: Public domain W3C validator