MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvcxp 25104
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvcxp.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvcxp.f 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
Assertion
Ref Expression
abvcxp ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐴 = (AbsVal‘𝑅))
3 abvcxp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
43a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
5 eqidd 2611 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (+g𝑅) = (+g𝑅))
6 eqidd 2611 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (.r𝑅) = (.r𝑅))
7 eqidd 2611 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) = (0g𝑅))
81abvrcl 18644 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
98adantr 480 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑅 ∈ Ring)
101, 3abvcl 18647 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1110adantlr 747 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
121, 3abvge0 18648 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1312adantlr 747 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
14 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ (0(,]1))
15 0xr 9965 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
16 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
17 elioc2 12107 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1)))
1815, 16, 17mp2an 704 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
1914, 18sylib 207 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
2019simp1d 1066 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ)
2211, 13, 21recxpcld 24269 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
23 abvcxp.f . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆))
2422, 23fmptd 6292 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺:𝐵⟶ℝ)
25 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
263, 25ring0cl 18392 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
279, 26syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0g𝑅) ∈ 𝐵)
28 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2928oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
30 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) ∈ V
3129, 23, 30fvmpt 6191 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
3227, 31syl 17 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆))
331, 25abv0 18654 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3534oveq1d 6564 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = (0↑𝑐𝑆))
3620recnd 9947 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ∈ ℂ)
3719simp2d 1067 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑆)
3837gt0ne0d 10471 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝑆 ≠ 0)
3936, 380cxpd 24256 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (0↑𝑐𝑆) = 0)
4035, 39eqtrd 2644 . . 3 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘(0g𝑅))↑𝑐𝑆) = 0)
4132, 40eqtrd 2644 . 2 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → (𝐺‘(0g𝑅)) = 0)
42 simp1l 1078 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
43 simp2 1055 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑦𝐵)
441, 3abvcl 18647 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
4542, 43, 44syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
461, 3, 25abvgt0 18651 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
47463adant1r 1311 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑦))
4845, 47elrpd 11745 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ+)
49203ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ)
5048, 49rpcxpcld 24276 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ+)
5150rpgt0d 11751 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
52 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5352oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
54 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ V
5553, 23, 54fvmpt 6191 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5643, 55syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
5751, 56breqtrrd 4611 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐺𝑦))
58 simp1l 1078 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
59 simp2l 1080 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐵)
60 simp3l 1082 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑧𝐵)
61 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
621, 3, 61abvmul 18652 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6358, 59, 60, 62syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
6463oveq1d 6564 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
6558, 59, 44syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
661, 3abvge0 18648 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
6758, 59, 66syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑦))
681, 3abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
6958, 60, 68syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
701, 3abvge0 18648 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑧𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
7158, 60, 70syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹𝑧))
72363ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℂ)
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 24274 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7464, 73eqtrd 2644 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
7593ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
763, 61ringcl 18384 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
7775, 59, 60, 76syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
78 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)))
7978oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(.r𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
80 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
8179, 23, 80fvmpt 6191 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8277, 81syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(.r𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
8359, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑦) = ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆))
84 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
8584oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
86 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ V
8785, 23, 86fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑧𝐵 → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8860, 87syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺𝑧) = ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆))
8983, 88oveq12d 6567 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) · ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
9074, 82, 893eqtr4d 2654 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(.r𝑅)𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
91 ringgrp 18375 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9275, 91syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Grp)
93 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
943, 93grpcl 17253 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
9592, 59, 60, 94syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
961, 3abvcl 18647 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
9758, 95, 96syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ∈ ℝ)
981, 3abvge0 18648 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
9958, 95, 98syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
100193ad2ant1 1075 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑆𝑆 ≤ 1))
101100simp1d 1066 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ)
10297, 99, 101recxpcld 24269 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10365, 69readdcld 9948 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
10465, 69, 67, 71addge0d 10482 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
105103, 104, 101recxpcld 24269 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10665, 67, 101recxpcld 24269 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
10769, 71, 101recxpcld 24269 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆) ∈ ℝ)
108106, 107readdcld 9948 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)) ∈ ℝ)
1091, 3, 93abvtri 18653 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
11058, 59, 60, 109syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)))
111100simp2d 1067 . . . . . . 7 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 0 < 𝑆)
112101, 111elrpd 11745 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ∈ ℝ+)
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 24273 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧)) ↔ ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆)))
114110, 113mpbid 221 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆))
115100simp3d 1068 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → 𝑆 ≤ 1)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 24293 . . . 4 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝑦) + (𝐹𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
117102, 105, 108, 114, 116letrd 10073 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ≤ (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
118 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)))
119118oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝑅)𝑧) → ((𝐹𝑥)↑𝑐𝑆) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
120 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆) ∈ V
121119, 23, 120fvmpt 6191 . . . 4 ((𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12295, 121syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧))↑𝑐𝑆))
12383, 88oveq12d 6567 . . 3 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝑦)↑𝑐𝑆) + ((𝐹𝑧)↑𝑐𝑆)))
124117, 122, 1233brtr4d 4615 . 2 (((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) ∧ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝐺‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) ≤ ((𝐺𝑦) + (𝐺𝑧)))
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 18643 1 ((𝐹𝐴𝑆 ∈ (0(,]1)) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  (,]cioc 12047  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  Ringcrg 18370  AbsValcabv 18639  𝑐ccxp 24106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-abv 18640  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108
This theorem is referenced by:  ostth2  25126  ostth  25128
  Copyright terms: Public domain W3C validator