Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assapropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assapropd 19148
 Description: If two structures have the same components (properties), one is an associative algebra iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
assapropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
assapropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
assapropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
assapropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
assapropd.5 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐾))
assapropd.6 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐿))
assapropd.7 𝑃 = (Base‘𝐹)
assapropd.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
assapropd (𝜑 → (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐾   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem assapropd
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 assalmod 19140 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg → 𝐾 ∈ LMod)
2 assaring 19141 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg → 𝐾 ∈ Ring)
31, 2jca 553 . . 3 (𝐾 ∈ AssAlg → (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ AssAlg → (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
5 assalmod 19140 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg → 𝐿 ∈ LMod)
6 assapropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
7 assapropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
8 assapropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 assapropd.5 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐾))
10 assapropd.6 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (Scalar‘𝐿))
11 assapropd.7 . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐹)
12 assapropd.8 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐿)𝑦))
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12lmodpropd 18749 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
145, 13syl5ibr 235 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ AssAlg → 𝐾 ∈ LMod))
15 assaring 19141 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg → 𝐿 ∈ Ring)
16 assapropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
176, 7, 8, 16ringpropd 18405 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
1815, 17syl5ibr 235 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ AssAlg → 𝐾 ∈ Ring))
1914, 18jcad 554 . 2 (𝜑 → (𝐿 ∈ AssAlg → (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)))
209, 10eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
2120eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Scalar‘𝐾) ∈ CRing ↔ (Scalar‘𝐿) ∈ CRing))
2213, 17, 213anbi123d 1391 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ CRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ CRing)))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ CRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ CRing)))
24 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝜑)
25 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝐾 ∈ LMod)
26 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑟𝑃)
279fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
2811, 27syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
2924, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
3026, 29eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾)))
31 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑧𝐵)
3224, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
3331, 32eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
34 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
35 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
36 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ·𝑠𝐾) = ( ·𝑠𝐾)
37 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘(Scalar‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘𝐾))
3834, 35, 36, 37lmodvscl 18703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
3925, 30, 33, 38syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) ∈ (Base‘𝐾))
4039, 32eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) ∈ 𝐵)
41 simprrr 801 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑤𝐵)
4216oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) ∈ 𝐵𝑤𝐵)) → ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐿)𝑤))
4324, 40, 41, 42syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐿)𝑤))
4412oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑃𝑧𝐵)) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) = (𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧))
4524, 26, 31, 44syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧) = (𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧))
4645oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = ((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤))
4743, 46eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → ((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = ((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤))
48 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝐾 ∈ Ring)
4941, 32eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐾))
50 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝐾) = (.r𝐾)
5134, 50ringcl 18384 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(.r𝐾)𝑤) ∈ (Base‘𝐾))
5248, 33, 49, 51syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐾)𝑤) ∈ (Base‘𝐾))
5352, 32eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐾)𝑤) ∈ 𝐵)
5412oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧(.r𝐾)𝑤) ∈ 𝐵)) → (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))
5524, 26, 53, 54syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))
5616oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → (𝑧(.r𝐾)𝑤) = (𝑧(.r𝐿)𝑤))
5724, 31, 41, 56syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐾)𝑤) = (𝑧(.r𝐿)𝑤))
5857oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))
5955, 58eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))
6047, 59eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ↔ ((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))))
6134, 35, 36, 37lmodvscl 18703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾)) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) ∈ (Base‘𝐾))
6225, 30, 49, 61syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) ∈ (Base‘𝐾))
6362, 32eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) ∈ 𝐵)
6416oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) ∈ 𝐵)) → (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)))
6524, 31, 63, 64syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)))
6612oveqrspc2v 6572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑃𝑤𝐵)) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤))
6724, 26, 41, 66syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤))
6867oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)))
6965, 68eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)))
7069, 59eqeq12d 2625 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → ((𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ↔ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))))
7160, 70anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ (𝑟𝑃 ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵))) → ((((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
7271anassrs 678 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ 𝑟𝑃) ∧ (𝑧𝐵𝑤𝐵)) → ((((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
73722ralbidva 2971 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) ∧ 𝑟𝑃) → (∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
7473ralbidva 2968 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑟𝑃𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑟𝑃𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
7528adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
766adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → 𝐵 = (Base‘𝐾))
7776raleqdv 3121 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))))
7876, 77raleqbidv 3129 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))))
7975, 78raleqbidv 3129 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑟𝑃𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))))
8010fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
8111, 80syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
8281adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → 𝐵 = (Base‘𝐿))
8483raleqdv 3121 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
8583, 84raleqbidv 3129 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
8682, 85raleqbidv 3129 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑟𝑃𝑧𝐵𝑤𝐵 (((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
8774, 79, 863bitr3d 297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤))) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
8823, 87anbi12d 743 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ CRing) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))) ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ CRing) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤))))))
8934, 35, 37, 36, 50isassa 19136 . . . 4 (𝐾 ∈ AssAlg ↔ ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ CRing) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐾))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐾)(((𝑟( ·𝑠𝐾)𝑧)(.r𝐾)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐾)(𝑟( ·𝑠𝐾)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐾)(𝑧(.r𝐾)𝑤)))))
90 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
91 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
92 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘𝐿))
93 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠𝐿) = ( ·𝑠𝐿)
94 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝐿) = (.r𝐿)
9590, 91, 92, 93, 94isassa 19136 . . . 4 (𝐿 ∈ AssAlg ↔ ((𝐿 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ Ring ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ CRing) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐿))∀𝑧 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐿)(((𝑟( ·𝑠𝐿)𝑧)(.r𝐿)𝑤) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)) ∧ (𝑧(.r𝐿)(𝑟( ·𝑠𝐿)𝑤)) = (𝑟( ·𝑠𝐿)(𝑧(.r𝐿)𝑤)))))
9688, 89, 953bitr4g 302 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring)) → (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
9796ex 449 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ Ring) → (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg)))
984, 19, 97pm5.21ndd 368 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ AssAlg ↔ 𝐿 ∈ AssAlg))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  LModclmod 18686  AssAlgcasa 19130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-assa 19133 This theorem is referenced by:  opsrassa  19310
 Copyright terms: Public domain W3C validator