MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcl Structured version   Unicode version

Theorem ringcl 17430
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem ringcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17422 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 ringcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 17365 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 ringcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 17363 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 16147 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1261 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14735   .rcmulr 14804   Mndcmnd 16137  mulGrpcmgp 17359   Ringcrg 17416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-plusg 14816  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-mgp 17360  df-ring 17418
This theorem is referenced by:  ringlz  17453  ringrz  17454  ringnegl  17458  rngnegr  17459  ringmneg1  17460  ringmneg2  17461  ringm2neg  17462  ringsubdi  17463  rngsubdir  17464  mulgass2  17465  ringlghm  17468  ringrghm  17469  gsumdixpOLD  17475  gsumdixp  17476  prdsmulrcl  17478  imasring  17486  qusring2  17487  opprring  17498  dvdsrcl2  17517  dvdsrtr  17519  dvdsrmul1  17520  dvrcl  17553  dvrass  17557  irredrmul  17574  isdrngd  17639  subrgmcl  17659  abvtrivd  17707  srngmul  17725  issrngd  17728  idsrngd  17729  lmodmcl  17742  lmodprop2d  17790  prdslmodd  17833  sralmod  18051  2idlcpbl  18100  qusrhm  18103  quscrng  18106  assa2ass  18189  assapropd  18194  asclrhm  18209  psrmulcllem  18258  psrvscacl  18264  psrlmod  18272  psrlidm  18274  psrlidmOLD  18275  psrridm  18276  psrridmOLD  18277  psrass1  18278  psrdi  18279  psrdir  18280  psrass23l  18281  psrcom  18282  psrass23  18283  mplmonmul  18344  mplmon2mul  18384  mplind  18385  evlslem2  18398  evlslem6  18399  evlslem6OLD  18400  evlslem3  18401  evlslem1  18402  mpfind  18423  psropprmul  18497  coe1mul2  18528  coe1tmmul2  18535  coe1tmmul  18536  evl1muld  18597  frlmphl  19030  mamucl  19121  mamuass  19122  mamudi  19123  mamudir  19124  mamuvs1  19125  mamuvs2  19126  mamulid  19161  mamurid  19162  madetsmelbas  19184  madetsmelbas2  19185  mat1dimscm  19195  mat1dimmul  19196  mat1mhm  19204  dmatmul  19217  dmatmulcl  19220  scmatscmiddistr  19228  scmatscm  19233  scmatmulcl  19238  smatvscl  19244  scmatmhm  19254  mavmulcl  19267  mavmulass  19269  mdetleib2  19308  mdetf  19315  mdetrlin  19322  mdetrsca  19323  mdetrsca2  19324  mdetralt  19328  mdetero  19330  mdetuni0  19341  mdetmul  19343  m2detleib  19351  madugsum  19363  madulid  19365  cpmatmcllem  19437  cpmatmcl  19438  mat2pmatmul  19450  decpmatmullem  19490  decpmatmul  19491  decpmatmulsumfsupp  19492  pm2mpmhmlem1  19537  pm2mpmhmlem2  19538  chfacfisf  19573  chfacfscmulgsum  19579  chfacfpmmulcl  19580  chfacfpmmulgsum  19583  chfacfpmmulgsum2  19584  cayhamlem1  19585  cpmadugsumlemF  19595  cayhamlem4  19607  nrgdsdi  21391  nrgdsdir  21392  nrginvrcnlem  21416  mdegmullem  22695  coe1mul3  22717  deg1mul2  22732  deg1mul3  22733  deg1mul3le  22734  ply1domn  22741  ply1divmo  22753  ply1divex  22754  uc1pmon1p  22769  r1pcl  22775  r1pid  22777  dvdsq1p  22778  dvdsr1p  22779  ply1rem  22781  dchrelbas3  23730  dchrmulcl  23741  dchrinv  23753  abvcxp  24017  rdivmuldivd  28029  ornglmulle  28043  orngrmulle  28044  ornglmullt  28045  orngrmullt  28046  orngmullt  28047  hbtlem2  31320  mendlmod  31389  mendassa  31390  isdomn3  31411  mon1psubm  31413  deg1mhm  31414  lidldomn1  32914  ply1mulgsum  33177  lincscm  33218  lincscmcl  33220  lincresunitlem2  33264  lmod1lem4  33278  lflnegcl  34986  lflvscl  34988  lkrlsp  35013  ldualvsass  35052  lclkrlem2m  37432  lclkrlem2o  37434  lclkrlem2p  37435  lcfrlem2  37456  lcfrlem3  37457  lcfrlem29  37484  mapdpglem30  37615  hdmapglem7  37845
  Copyright terms: Public domain W3C validator