MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ringcl 17806
Description: Closure of the multiplication operation of a ring. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringcl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ringcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )

Proof of Theorem ringcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17798 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (mulGrp `  R )  e.  Mnd )
3 ringcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
41, 3mgpbas 17741 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
5 ringcl.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
61, 5mgpplusg 17739 . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
74, 6mndcl 16557 . 2  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
82, 7syl3an1 1302 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   .rcmulr 15203   Mndcmnd 16547  mulGrpcmgp 17735   Ringcrg 17792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-plusg 15215  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mgp 17736  df-ring 17794
This theorem is referenced by:  ringlz  17829  ringrz  17830  ringnegl  17834  rngnegr  17835  ringmneg1  17836  ringmneg2  17837  ringm2neg  17838  ringsubdi  17839  rngsubdir  17840  mulgass2  17841  ringlghm  17844  ringrghm  17845  gsumdixp  17849  prdsmulrcl  17851  imasring  17859  qusring2  17860  opprring  17871  dvdsrcl2  17890  dvdsrtr  17892  dvdsrmul1  17893  dvrcl  17926  dvrass  17930  irredrmul  17947  isdrngd  18012  subrgmcl  18032  abvtrivd  18080  srngmul  18098  issrngd  18101  idsrngd  18102  lmodmcl  18115  lmodprop2d  18162  prdslmodd  18204  sralmod  18422  2idlcpbl  18470  qusrhm  18473  quscrng  18476  assa2ass  18558  assapropd  18563  asclrhm  18578  psrmulcllem  18623  psrvscacl  18629  psrlmod  18637  psrlidm  18639  psrridm  18640  psrass1  18641  psrdi  18642  psrdir  18643  psrass23l  18644  psrcom  18645  psrass23  18646  mplmonmul  18700  mplmon2mul  18736  mplind  18737  evlslem2  18747  evlslem6  18748  evlslem3  18749  evlslem1  18750  mpfind  18771  psropprmul  18843  coe1mul2  18874  coe1tmmul2  18881  coe1tmmul  18882  evl1muld  18943  frlmphl  19351  mamucl  19438  mamuass  19439  mamudi  19440  mamudir  19441  mamuvs1  19442  mamuvs2  19443  mamulid  19478  mamurid  19479  madetsmelbas  19501  madetsmelbas2  19502  mat1dimscm  19512  mat1dimmul  19513  mat1mhm  19521  dmatmul  19534  dmatmulcl  19537  scmatscmiddistr  19545  scmatscm  19550  scmatmulcl  19555  smatvscl  19561  scmatmhm  19571  mavmulcl  19584  mavmulass  19586  mdetleib2  19625  mdetf  19632  mdetrlin  19639  mdetrsca  19640  mdetrsca2  19641  mdetralt  19645  mdetero  19647  mdetuni0  19658  mdetmul  19660  m2detleib  19668  madugsum  19680  madulid  19682  cpmatmcllem  19754  cpmatmcl  19755  mat2pmatmul  19767  decpmatmullem  19807  decpmatmul  19808  decpmatmulsumfsupp  19809  pm2mpmhmlem1  19854  pm2mpmhmlem2  19855  chfacfisf  19890  chfacfscmulgsum  19896  chfacfpmmulcl  19897  chfacfpmmulgsum  19900  chfacfpmmulgsum2  19901  cayhamlem1  19902  cpmadugsumlemF  19912  cayhamlem4  19924  nrgdsdi  21680  nrgdsdir  21681  nrginvrcnlem  21705  mdegmullem  23039  coe1mul3  23060  deg1mul2  23075  deg1mul3  23076  deg1mul3le  23077  ply1domn  23084  ply1divmo  23098  ply1divex  23099  uc1pmon1p  23114  r1pcl  23120  r1pid  23122  dvdsq1p  23123  dvdsr1p  23124  ply1rem  23126  dchrelbas3  24178  dchrmulcl  24189  dchrinv  24201  abvcxp  24465  rdivmuldivd  28566  ornglmulle  28580  orngrmulle  28581  ornglmullt  28582  orngrmullt  28583  orngmullt  28584  mdetpmtr1  28661  lflnegcl  32653  lflvscl  32655  lkrlsp  32680  ldualvsass  32719  lclkrlem2m  35099  lclkrlem2o  35101  lclkrlem2p  35102  lcfrlem2  35123  lcfrlem3  35124  lcfrlem29  35151  mapdpglem30  35282  hdmapglem7  35512  hbtlem2  35995  mendlmod  36071  mendassa  36072  isdomn3  36093  mon1psubm  36095  deg1mhm  36096  lidldomn1  40025  ply1mulgsum  40286  lincscm  40327  lincscmcl  40329  lincresunitlem2  40373  lmod1lem4  40387
  Copyright terms: Public domain W3C validator