Theorem ringlghm 18427

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringlghm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlghm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ringlghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2610	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		ringgrp 18375	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringlghm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	ringcl 18384	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	3expa 1257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))
9	7, 8	fmptd 6292	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
10		3anass 1035	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
11	1, 2, 5	ringdi 18389	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
12	10, 11	sylan2br 492	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
13	12	anassrs 678	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
14	1, 2	ringacl 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1258	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
16	15	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
18		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) ∈ V
19	17, 8, 18	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (𝑋 · (𝑦(+g‘𝑅)𝑧)))
21		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑦))
22		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑦) ∈ V
23	21, 8, 22	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 · 𝑦))
24		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑋 · 𝑥) = (𝑋 · 𝑧))
25		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 · 𝑧) ∈ V
26	24, 8, 25	fvmpt 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑋 · 𝑧))
27	23, 26	oveqan12d 6568	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑋 · 𝑦)(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑧)))
29	13, 20, 28	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝑅)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥))‘𝑧)))
30	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 29	isghmd 17492	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑋 · 𝑥)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  Ringcrg 18370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ring 18372

This theorem is referenced by:  gsummulc2  18430