Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2idlcpbl 19055
 Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
2idlcpbl.r 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpbl.i 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idlcpbl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
4 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘(oppr𝑅)) = (LIdeal‘(oppr𝑅))
5 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
62, 3, 4, 52idlval 19054 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
76elin2 3763 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))))
87simplbi 475 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
98ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
102lidlsubg 19036 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
111, 9, 10syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12 2idlcpbl.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
1412, 13eqger 17467 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐸 Er 𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐸 Er 𝑋)
16 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴𝐸𝐶)
1715, 16ersym 7641 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶𝐸𝐴)
18 ringabl 18403 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
1918ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Abel)
2012, 2lidlss 19031 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑆𝑋)
219, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆𝑋)
22 eqid 2610 . . . . . . . 8 (-g𝑅) = (-g𝑅)
2312, 22, 13eqgabl 18063 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
2419, 21, 23syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶𝐸𝐴 ↔ (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)))
2517, 24mpbid 221 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶𝑋𝐴𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆))
2625simp2d 1067 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐴𝑋)
27 simprr 792 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵𝐸𝐷)
2812, 22, 13eqgabl 18063 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
2919, 21, 28syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵𝐸𝐷 ↔ (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)))
3027, 29mpbid 221 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵𝑋𝐷𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆))
3130simp1d 1066 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐵𝑋)
32 2idlcpbl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3312, 32ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
341, 26, 31, 33syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
3525simp1d 1066 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐶𝑋)
3630simp2d 1067 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝐷𝑋)
3712, 32ringcl 18384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑋𝐷𝑋) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
381, 35, 36, 37syl3anc 1318 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋)
39 ringgrp 18375 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4039ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑅 ∈ Grp)
4112, 32ringcl 18384 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑋𝐵𝑋) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
421, 35, 31, 41syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)
4312, 22grpnnncan2 17335 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ 𝑋)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
4440, 38, 34, 42, 43syl13anc 1320 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)))
4512, 32, 22, 1, 35, 36, 31ringsubdi 18422 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) = ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
4630simp3d 1068 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)
472, 12, 32lidlmcl 19038 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐶𝑋 ∧ (𝐷(-g𝑅)𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
481, 9, 35, 46, 47syl22anc 1319 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐶 · (𝐷(-g𝑅)𝐵)) ∈ 𝑆)
4945, 48eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
50 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
5112, 32, 3, 50opprmul 18449 . . . . . . 7 (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴(-g𝑅)𝐶) · 𝐵)
5212, 32, 22, 1, 26, 35, 31rngsubdir 18423 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴(-g𝑅)𝐶) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
5351, 52syl5eq 2656 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)))
543opprring 18454 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
5554ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (oppr𝑅) ∈ Ring)
567simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑆𝐼𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
5756ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅)))
5825simp3d 1068 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)
593, 12opprbas 18452 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘(oppr𝑅))
604, 59, 50lidlmcl 19038 . . . . . . 7 ((((oppr𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr𝑅))) ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝐴(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑆)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
6155, 57, 31, 58, 60syl22anc 1319 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐵(.r‘(oppr𝑅))(𝐴(-g𝑅)𝐶)) ∈ 𝑆)
6253, 61eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
632, 22lidlsubcl 19037 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
641, 9, 49, 62, 63syl22anc 1319 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))(-g𝑅)((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐶 · 𝐵))) ∈ 𝑆)
6544, 64eqeltrrd 2689 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)
6612, 22, 13eqgabl 18063 . . . 4 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
6719, 21, 66syl2anc 691 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐶 · 𝐷)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐵)) ∈ 𝑆)))
6834, 38, 65, 67mpbir3and 1238 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) ∧ (𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷)) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷))
6968ex 449 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411   ~QG cqg 17413  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  opprcoppr 18445  LIdealclidl 18991  2Idealc2idl 19052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-2idl 19053 This theorem is referenced by:  qus1  19056  qusrhm  19058  quscrng  19061
 Copyright terms: Public domain W3C validator