Theorem eqgabl 18063

Description: Value of the subgroup coset equivalence relation on an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgabl.n	⊢ − = (-g‘𝐺)
eqgabl.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqgabl	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqgabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		eqgabl.r	. . 3 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	eqgval 17466	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆)))
6		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
7		ablgrp 18021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8	7	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simprl 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
10	1, 2	grpinvcl 17290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
12		simprr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
13	1, 3	ablcom 18033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
14	6, 11, 12, 13	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
15		eqgabl.n	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
16	1, 3, 2, 15	grpsubval 17288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
17	12, 9, 16	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐵 − 𝐴) = (𝐵(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝐴)))
18	14, 17	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
19	18	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
20	19	pm5.32da 671	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
21		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆))
22		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆))
23	20, 21, 22	3bitr4g 302	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴)(+g‘𝐺)𝐵) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))
24	5, 23	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  -_gcsg 17247   ~_QG cqg 17413  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-eqg 17416  df-cmn 18018  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  2idlcpbl  19055  zndvds  19717  tgptsmscls  21763