Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgabl 18064
 Description: A subgroup of an abelian group is also abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subgabl ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)

Proof of Theorem subgabl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgabl.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21subgbas 17421 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
32adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
4 eqid 2610 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4ressplusg 15818 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
71subggrp 17420 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
87adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
9 simp1l 1078 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ Abel)
10 simp1r 1079 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1211subgss 17418 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1310, 12syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14 simp2 1055 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥𝑆)
1513, 14sseldd 3569 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
16 simp3 1056 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦𝑆)
1713, 16sseldd 3569 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
1811, 4ablcom 18033 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
199, 15, 17, 18syl3anc 1318 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
203, 6, 8, 19isabld 18029 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Abelcabl 18017 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-grp 17248  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019 This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  18304  pgpfaclem3  18305  ablfaclem3  18309  efabl  24100  lidlabl  41714
 Copyright terms: Public domain W3C validator