Theorem subcmn 18065

Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgabl.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subcmn	⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem subcmn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2611	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻))
2		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
4	2, 3	mndidcl 17131	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → (0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻))
5		n0i 3879	. . . . . 6 ⊢ ((0g‘𝐻) ∈ (Base‘𝐻) → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → ¬ (Base‘𝐻) = ∅)
7		subgabl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
8		reldmress 15753	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
9	8	ovprc2 6583	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 ↾s 𝑆) = ∅)
10	7, 9	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → 𝐻 = ∅)
11	10	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = (Base‘∅))
12		base0 15740	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13	11, 12	syl6eqr 2662	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘𝐻) = ∅)
14	6, 13	nsyl2 141	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ V)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝑆 ∈ V)
16		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	7, 16	ressplusg 15818	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
18	15, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
19		simpr 476	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ Mnd)
20		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐺 ∈ CMnd)
21		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
22	7, 21	ressbasss 15759	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
23	22	sseli 3564	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
24	22	sseli 3564	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐻) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
25	21, 16	cmncom 18032	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
26	20, 23, 24, 25	syl3an 1360	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
27	1, 18, 19, 26	iscmnd 18028	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-cmn 18018

This theorem is referenced by:  submcmn  18066  unitabl  18491  subrgcrng  18607  xrge0cmn  19607  tsmssubm  21756  amgmlem  24516  amgmwlem  42357  amgmlemALT  42358