MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subcmn Structured version   Unicode version

Theorem subcmn 16718
Description: A submonoid of a commutative monoid is also commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgabl.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
subcmn  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )

Proof of Theorem subcmn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( Base `  H )  =  ( Base `  H
) )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
42, 3mndidcl 15811 . . . . . 6  |-  ( H  e.  Mnd  ->  ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
) )
5 n0i 3795 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  H )  e.  ( Base `  H
)  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  Mnd  ->  -.  ( Base `  H )  =  (/) )
7 subgabl.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
8 reldmress 14558 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
98ovprc2 6324 . . . . . . . 8  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  ( Gs  S )  =  (/) )
107, 9syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  H  =  (/) )
1110fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  ( Base `  (/) ) )
12 base0 14546 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
1311, 12syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( -.  S  e.  _V  ->  (
Base `  H )  =  (/) )
146, 13nsyl2 127 . . . 4  |-  ( H  e.  Mnd  ->  S  e.  _V )
1514adantl 466 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  S  e.  _V )
16 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
177, 16ressplusg 14614 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17syl 16 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
19 simpr 461 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e.  Mnd )
20 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  G  e. CMnd )
21 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
227, 21ressbasss 14564 . . . 4  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
2322sseli 3505 . . 3  |-  ( x  e.  ( Base `  H
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
2422sseli 3505 . . 3  |-  ( y  e.  ( Base `  H
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
2521, 16cmncom 16687 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )
2620, 23, 24, 25syl3an 1270 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )
271, 18, 19, 26iscmnd 16683 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  H  e.  Mnd )  ->  H  e. CMnd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Mndcmnd 15793  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-cmn 16673
This theorem is referenced by:  submcmn  16719  unitabl  17189  subrgcrng  17304  xrge0cmn  18330  tsmssubm  20512  amgmlem  23185
  Copyright terms: Public domain W3C validator