Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2idlcpbl Structured version   Unicode version

Theorem 2idlcpbl 18393
 Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlcpbl.x
2idlcpbl.r ~QG
2idlcpbl.i 2Ideal
2idlcpbl.t
Assertion
Ref Expression
2idlcpbl

Proof of Theorem 2idlcpbl
StepHypRef Expression
1 simpll 758 . . . 4
2 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13 LIdeal LIdeal
3 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13 oppr oppr
4 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13 LIdealoppr LIdealoppr
5 2idlcpbl.i . . . . . . . . . . . . 13 2Ideal
62, 3, 4, 52idlval 18392 . . . . . . . . . . . 12 LIdeal LIdealoppr
76elin2 3659 . . . . . . . . . . 11 LIdeal LIdealoppr
87simplbi 461 . . . . . . . . . 10 LIdeal
98ad2antlr 731 . . . . . . . . 9 LIdeal
102lidlsubg 18373 . . . . . . . . 9 LIdeal SubGrp
111, 9, 10syl2anc 665 . . . . . . . 8 SubGrp
12 2idlcpbl.x . . . . . . . . 9
13 2idlcpbl.r . . . . . . . . 9 ~QG
1412, 13eqger 16818 . . . . . . . 8 SubGrp
1511, 14syl 17 . . . . . . 7
16 simprl 762 . . . . . . 7
1715, 16ersym 7383 . . . . . 6
18 ringabl 17745 . . . . . . . 8
1918ad2antrr 730 . . . . . . 7
2012, 2lidlss 18368 . . . . . . . 8 LIdeal
219, 20syl 17 . . . . . . 7
22 eqid 2429 . . . . . . . 8
2312, 22, 13eqgabl 17410 . . . . . . 7
2419, 21, 23syl2anc 665 . . . . . 6
2517, 24mpbid 213 . . . . 5
2625simp2d 1018 . . . 4
27 simprr 764 . . . . . 6
2812, 22, 13eqgabl 17410 . . . . . . 7
2919, 21, 28syl2anc 665 . . . . . 6
3027, 29mpbid 213 . . . . 5
3130simp1d 1017 . . . 4
32 2idlcpbl.t . . . . 5
3312, 32ringcl 17729 . . . 4
341, 26, 31, 33syl3anc 1264 . . 3
3525simp1d 1017 . . . 4
3630simp2d 1018 . . . 4
3712, 32ringcl 17729 . . . 4
381, 35, 36, 37syl3anc 1264 . . 3
39 ringgrp 17720 . . . . . 6
4039ad2antrr 730 . . . . 5
4112, 32ringcl 17729 . . . . . 6
421, 35, 31, 41syl3anc 1264 . . . . 5
4312, 22grpnnncan2 16702 . . . . 5
4440, 38, 34, 42, 43syl13anc 1266 . . . 4
4512, 32, 22, 1, 35, 36, 31ringsubdi 17762 . . . . . 6
4630simp3d 1019 . . . . . . 7
472, 12, 32lidlmcl 18376 . . . . . . 7 LIdeal
481, 9, 35, 46, 47syl22anc 1265 . . . . . 6
4945, 48eqeltrrd 2518 . . . . 5
50 eqid 2429 . . . . . . . 8 oppr oppr
5112, 32, 3, 50opprmul 17789 . . . . . . 7 oppr
5212, 32, 22, 1, 26, 35, 31rngsubdir 17763 . . . . . . 7
5351, 52syl5eq 2482 . . . . . 6 oppr
543opprring 17794 . . . . . . . 8 oppr
5554ad2antrr 730 . . . . . . 7 oppr
567simprbi 465 . . . . . . . 8 LIdealoppr
5756ad2antlr 731 . . . . . . 7 LIdealoppr
5825simp3d 1019 . . . . . . 7
593, 12opprbas 17792 . . . . . . . 8 oppr
604, 59, 50lidlmcl 18376 . . . . . . 7 oppr LIdealoppr oppr
6155, 57, 31, 58, 60syl22anc 1265 . . . . . 6 oppr
6253, 61eqeltrrd 2518 . . . . 5
632, 22lidlsubcl 18374 . . . . 5 LIdeal
641, 9, 49, 62, 63syl22anc 1265 . . . 4
6544, 64eqeltrrd 2518 . . 3
6612, 22, 13eqgabl 17410 . . . 4
6719, 21, 66syl2anc 665 . . 3
6834, 38, 65, 67mpbir3and 1188 . 2
6968ex 435 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wss 3442   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305   wer 7368  cbs 15084  cmulr 15153  cgrp 16620  csg 16622  SubGrpcsubg 16762   ~QG cqg 16764  cabl 17366  crg 17715  opprcoppr 17785  LIdealclidl 18328  2Idealc2idl 18390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-eqg 16767  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-lidl 18332  df-2idl 18391 This theorem is referenced by:  qus1  18394  qusrhm  18396  quscrng  18399
 Copyright terms: Public domain W3C validator