Theorem coe1mul3 23663

Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate polynomial ring, at indices high enough that at most one component can be active in the sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1mul3.s	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
coe1mul3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
coe1mul3.u	⊢ · = (.r‘𝑅)
coe1mul3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1mul3.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
coe1mul3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1mul3.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
coe1mul3.f2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
coe1mul3.f3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
coe1mul3.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
coe1mul3.g2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
coe1mul3.g3	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Proof of Theorem coe1mul3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1mul3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1mul3.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		coe1mul3.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
4		coe1mul3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
5		coe1mul3.t	. . . . 5 ⊢ ∙ = (.r‘𝑌)
6		coe1mul3.u	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		coe1mul3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	coe1mul 19461	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
10	9	fveq1d 6105	. 2 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)))
11		coe1mul3.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ0)
12		coe1mul3.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
13	11, 12	nn0addcld 11232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0)
14		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (0...𝑥) = (0...(𝐼 + 𝐽)))
15		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑥 − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
16	15	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
17	16	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
18	14, 17	mpteq12dv 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))))
19	18	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 + 𝐽) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
20		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))
21		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) ∈ V
22	19, 20, 21	fvmpt 6191	. . 3 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
23	13, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘(𝑥 − 𝑦))))))‘(𝐼 + 𝐽)) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))))
24		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26		ringmnd 18379	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
27	1, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
28		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...(𝐼 + 𝐽)) ∈ V)
30	11	nn0red 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
31		nn0addge1 11216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
32	30, 12, 31	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))
33		fznn0 12301	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 𝐽) ∈ ℕ0 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
34	13, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 𝐽))))
35	11, 32, 34	mpbir2and 959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)))
36	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
37		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
38	37, 7, 4, 24	coe1f 19402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
39	2, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40		elfznn0 12302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
41		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
42	39, 40, 41	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
43		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
44	43, 7, 4, 24	coe1f 19402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
45	3, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
46		fznn0sub 12244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
47		ffvelrn 6265	. . . . . . 7 ⊢ (((coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
48	45, 46, 47	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅))
49	24, 6	ringcl 18384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
50	36, 42, 48, 49	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
51		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
52	50, 51	fmptd 6292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))):(0...(𝐼 + 𝐽))⟶(Base‘𝑅))
53		eldifsn 4260	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼}) ↔ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼))
54	40	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
55	54	nn0red 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	30	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐼 ∈ ℝ)
57	55, 56	lttri2d 10055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 ↔ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)))
58	3	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐺 ∈ 𝐵)
59	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0)
61		coe1mul3.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
62	61, 4, 7	deg1xrcl 23646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
63	3, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
64	63	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
65	12	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
66	65	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ*)
67	66	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 ∈ ℝ*)
68	13	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝐼 + 𝐽) ∈ ℝ)
70	69, 55	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℝ*)
73		coe1mul3.g3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
74	73	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐽)
75	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝐽 ∈ ℝ)
76	55, 56, 75	ltadd1d 10499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ (𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽)))
77	55, 75, 69	ltaddsub2d 10507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 + 𝐽) < (𝐼 + 𝐽) ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
78	76, 77	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 < 𝐼 ↔ 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))
79	78	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → 𝐽 < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
80	64, 67, 72, 74, 79	xrlelttrd 11867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))
81	61, 4, 7, 25, 43	deg1lt 23661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
82	58, 60, 80, 81	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = (0g‘𝑅))
83	82	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)))
84	24, 6, 25	ringrz 18411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
85	36, 42, 84	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
87	83, 86	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝑦 < 𝐼) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
88	2	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐹 ∈ 𝐵)
89	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ0)
90	61, 4, 7	deg1xrcl 23646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
91	2, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
92	91	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
93	30	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ*)
94	93	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 ∈ ℝ*)
95	55	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
97		coe1mul3.f3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
98	97	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐼)
99		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → 𝐼 < 𝑦)
100	92, 94, 96, 98, 99	xrlelttrd 11867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (𝐷‘𝐹) < 𝑦)
101	61, 4, 7, 25, 37	deg1lt 23661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐷‘𝐹) < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
102	88, 89, 100, 101	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = (0g‘𝑅))
103	102	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))
104	24, 6, 25	ringlz 18410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
105	36, 48, 104	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → ((0g‘𝑅) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
107	103, 106	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
108	87, 107	jaodan 822	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) ∧ (𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
109	108	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → ((𝑦 < 𝐼 ∨ 𝐼 < 𝑦) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
110	57, 109	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽))) → (𝑦 ≠ 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅)))
111	110	impr 647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ∧ 𝑦 ≠ 𝐼)) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
112	53, 111	sylan2b 491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((0...(𝐼 + 𝐽)) ∖ {𝐼})) → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (0g‘𝑅))
113	112, 29	suppss2 7216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝐼})
114	24, 25, 27, 29, 35, 52, 113	gsumpt 18184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼))
115		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐹)‘𝑦) = ((coe1‘𝐹)‘𝐼))
116		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝑦) = ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))
117	116	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦)) = ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)))
118	115, 117	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
119		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) ∈ V
120	118, 51, 119	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
121	35, 120	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))‘𝐼) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))))
122	11	nn0cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
123	12	nn0cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
124	122, 123	pncan2d 10273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 + 𝐽) − 𝐼) = 𝐽)
125	124	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼)) = ((coe1‘𝐺)‘𝐽))
126	125	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝐼))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
127	114, 121, 126	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...(𝐼 + 𝐽)) ↦ (((coe1‘𝐹)‘𝑦) · ((coe1‘𝐺)‘((𝐼 + 𝐽) − 𝑦))))) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))
128	10, 23, 127	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 ∙ 𝐺))‘(𝐼 + 𝐽)) = (((coe1‘𝐹)‘𝐼) · ((coe1‘𝐺)‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  0_gc0g 15923   Σ_g cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Ringcrg 18370  Poly₁cpl1 19368  coe₁cco1 19369   deg₁ cdg1 23618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620

This theorem is referenced by:  coe1mul4  23664