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Theorem mat2pmatmul 20355
 Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables 𝑚 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
31, 2matmulr 20063 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
43eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (.r𝐴) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩))
54oveqdr 6573 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦))
6 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 crngring 18381 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
98ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simpll 786 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐴)
1211eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1312biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
161, 6matbas2 20046 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
1815, 17eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1911eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2019biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2120ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
2216eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)))
2421, 23mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 20011 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
265, 25eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
27263ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))))))
28 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑥𝑚) = (𝑘𝑥𝑚))
29 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (𝑚𝑦𝑗) = (𝑚𝑦𝑙))
3028, 29oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)) = ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
3130mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))
3231oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3332adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ (𝑖 = 𝑘𝑗 = 𝑙)) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑖𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
34 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
35 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
36 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) ∈ V)
3827, 33, 34, 35, 37ovmpt2d 6686 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙) = (𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))))
3938fveq2d 6107 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
40 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41 ringcmn 18404 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
428, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ CMnd)
4342ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑅 ∈ CMnd)
44433ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ CMnd)
45 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
4645ply1ring 19439 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
478, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
48 ringmnd 18379 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Mnd)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Mnd)
5049ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Mnd)
51503ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃 ∈ Mnd)
52103ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
53 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5547adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
5645ply1lmod 19443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
578, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ LMod)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
5953, 54, 55, 58asclghm 19159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6045ply1sca 19444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6261oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 GrpHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) GrpHom 𝑃))
6359, 62eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃))
64 ghmmhm 17493 . . . . . . . . . 10 ((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑃) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6665adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
67663ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 MndHom 𝑃))
6893ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
6968adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
7034adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑘𝑁)
71 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑚𝑁)
72153ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
7473, 12sylibr 223 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑥𝐵)
751, 6, 11, 70, 71, 74matecld 20051 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
7635adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑙𝑁)
771fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7811, 77eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
7978eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8079biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8180ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
82813ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8382adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
8483, 79sylibr 223 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
851, 6, 11, 71, 76, 84matecld 20051 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
866, 7ringcl 18384 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
8769, 75, 85, 86syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
88 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))
89 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
91 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (0g𝑅) ∈ V)
9388, 52, 90, 92fsuppmptdm 8169 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) finSupp (0g𝑅))
946, 40, 44, 51, 52, 67, 87, 93gsummptmhm 18163 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑅 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))))
9545ply1assa 19390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
9753, 54asclrhm 19163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9961oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
10098, 99eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
1021013ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
103102adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃))
104213ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
106105, 19sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → 𝑦𝐵)
1071, 6, 11, 71, 76, 106matecld 20051 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
108 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
1096, 7, 108rhmmul 18550 . . . . . . . . 9 (((algSc‘𝑃) ∈ (𝑅 RingHom 𝑃) ∧ (𝑘𝑥𝑚) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑚𝑦𝑙) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
110103, 75, 107, 109syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) ∧ 𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))) = (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))
111110mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙)))) = (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))
112111oveq2d 6565 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘((𝑘𝑥𝑚)(.r𝑅)(𝑚𝑦𝑙))))) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
11339, 94, 1123eqtr2d 2650 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙)) = (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙))))))
114113mpt2eq3dva 6617 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
115 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
116 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
117 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝐶) = (.r𝐶)
11847ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑃 ∈ Ring)
119 eqid 2610 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
120 eqid 2610 . . . . 5 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
12193ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
122 simp2 1055 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
123 simp3 1056 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
124 simp1rl 1119 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑥𝐵)
1251, 6, 11, 122, 123, 124matecld 20051 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
12645, 53, 6, 116ply1sclcl 19477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑥𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
127121, 125, 126syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
128 simp1rr 1120 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑦𝐵)
1291, 6, 11, 122, 123, 128matecld 20051 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
13045, 53, 6, 116ply1sclcl 19477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑦𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
131121, 129, 130syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)) ∈ (Base‘𝑃))
132 oveq12 6558 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → (𝑘𝑥𝑚) = (𝑖𝑥𝑗))
133132fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
134133adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑘 = 𝑖𝑚 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))
135 oveq12 6558 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → (𝑚𝑦𝑙) = (𝑖𝑦𝑗))
136135fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
137136adantl 481 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ (𝑚 = 𝑖𝑙 = 𝑗)) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) = ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))
138 fvex 6113 . . . . . 6 ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V
139138a1i 11 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑘𝑁𝑚𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚)) ∈ V)
140 fvex 6113 . . . . . 6 ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V
141140a1i 11 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑚𝑁𝑙𝑁) → ((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)) ∈ V)
142115, 116, 117, 108, 118, 10, 119, 120, 127, 131, 134, 137, 139, 141mpt2matmul 20071 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑚𝑁 ↦ (((algSc‘𝑃)‘(𝑘𝑥𝑚))(.r𝑃)((algSc‘𝑃)‘(𝑚𝑦𝑙)))))))
143114, 142eqtr4d 2647 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
1441matring 20068 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
1458, 144sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
146145anim1i 590 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
147 3anass 1035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)))
148146, 147sylibr 223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵))
149 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
15011, 149ringcl 18384 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
151148, 150syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
152 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
153152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 20348 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
15410, 9, 151, 153syl3anc 1318 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑘(𝑥(.r𝐴)𝑦)𝑙))))
155 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
156155anim2i 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
157 df-3an 1033 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑥𝐵))
158156, 157sylibr 223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵))
159152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 20348 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
160158, 159syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑥) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗))))
161 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
162161anim2i 591 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
163 df-3an 1033 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑦𝐵))
164162, 163sylibr 223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵))
165152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 20348 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
166164, 165syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇𝑦) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗))))
167160, 166oveq12d 6567 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑥𝑗)))(.r𝐶)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((algSc‘𝑃)‘(𝑖𝑦𝑗)))))
168143, 154, 1673eqtr4d 2654 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
169168ralrimivva 2954 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⟨cotp 4133   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156   GrpHom cghm 17480  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  LModclmod 18686  AssAlgcasa 19130  algSccascl 19132  Poly1cpl1 19368   maMul cmmul 20008   Mat cmat 20032   matToPolyMat cmat2pmat 20328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-assa 19133  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mat2pmat 20331 This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  20357
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