Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptmhm 18163
 Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptmhm.z 0 = (0g𝐺)
gsummptmhm.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptmhm.h (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
gsummptmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
gsummptmhm.k (𝜑𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
gsummptmhm.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
gsummptmhm.w (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsummptmhm (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem gsummptmhm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptmhm.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
2 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
3 gsummptmhm.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
4 gsummptmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
64, 5mhmf 17163 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻))
7 ffn 5958 . . . . . 6 (𝐾:𝐵⟶(Base‘𝐻) → 𝐾 Fn 𝐵)
83, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐾 Fn 𝐵)
9 dffn5 6151 . . . . 5 (𝐾 Fn 𝐵𝐾 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐾𝑦)))
108, 9sylib 207 . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝑦𝐵 ↦ (𝐾𝑦)))
11 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (𝐾𝑦) = (𝐾𝐶))
121, 2, 10, 11fmptco 6303 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶)))
1312oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶))) = (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))))
14 gsummptmhm.z . . 3 0 = (0g𝐺)
15 gsummptmhm.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
16 gsummptmhm.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
17 gsummptmhm.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
18 eqid 2610 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
191, 18fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
20 gsummptmhm.w . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
214, 14, 15, 16, 17, 3, 19, 20gsummhm 18161 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝐾 ∘ (𝑥𝐴𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
2213, 21eqtr3d 2646 1 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐾𝐶))) = (𝐾‘(𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  CMndccmn 18016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-cntz 17573  df-cmn 18018 This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  19510  evls1gsummul  19511  evl1gsummul  19545  mat2pmatmul  20355  pm2mp  20449  cayhamlem4  20512
 Copyright terms: Public domain W3C validator