MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptmhm Structured version   Unicode version

Theorem gsummptmhm 16832
Description: Apply a group homomorphism to a group sum expressed with a mapping. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.) (Revised by AV, 8-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptmhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptmhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptmhm.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptmhm.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
gsummptmhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummptmhm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
gsummptmhm.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
gsummptmhm.w  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummptmhm  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( K `  C
) ) )  =  ( K `  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, K    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    G( x)    H( x)    V( x)    .0. (
x)

Proof of Theorem gsummptmhm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptmhm.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
2 eqidd 2442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3 gsummptmhm.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
4 gsummptmhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
64, 5mhmf 15840 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( G MndHom  H
)  ->  K : B
--> ( Base `  H
) )
7 ffn 5717 . . . . . 6  |-  ( K : B --> ( Base `  H )  ->  K  Fn  B )
83, 6, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  Fn  B )
9 dffn5 5899 . . . . 5  |-  ( K  Fn  B  <->  K  =  ( y  e.  B  |->  ( K `  y
) ) )
108, 9sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  =  ( y  e.  B  |->  ( K `
 y ) ) )
11 fveq2 5852 . . . 4  |-  ( y  =  C  ->  ( K `  y )  =  ( K `  C ) )
121, 2, 10, 11fmptco 6045 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  o.  (
x  e.  A  |->  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( K `  C ) ) )
1312oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  (
x  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( H  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( K `  C
) ) ) )
14 gsummptmhm.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
15 gsummptmhm.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
16 gsummptmhm.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
17 gsummptmhm.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
18 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
191, 18fmptd 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
20 gsummptmhm.w . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) finSupp  .0.  )
214, 14, 15, 16, 17, 3, 19, 20gsummhm 16828 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  (
x  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( K `  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) ) ) )
2213, 21eqtr3d 2484 1  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( K `  C
) ) )  =  ( K `  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491    o. ccom 4989    Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   finSupp cfsupp 7827   Basecbs 14504   0gc0g 14709    gsumg cgsu 14710   Mndcmnd 15788   MndHom cmhm 15833  CMndccmn 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mhm 15835  df-cntz 16224  df-cmn 16669
This theorem is referenced by:  evls1gsumadd  18229  evls1gsummul  18230  evl1gsummul  18264  mat2pmatmul  19099  pm2mp  19193  cayhamlem4  19256
  Copyright terms: Public domain W3C validator