Theorem ply1assa 19390

Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1assa	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem ply1assa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18381	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1val.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
4		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	2, 3, 4	ply1subrg 19388	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)))
7	2, 3, 4	ply1lss 19387	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))
9	3	psr1assa 19379	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg)
10		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) = (1r‘(PwSer1‘𝑅))
11	10	subrg1cl 18611	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
13		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝑅)) = (Base‘(PwSer1‘𝑅))
14	13	subrgss 18604	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
15	6, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅)))
16	2, 3	ply1val 19385	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
17	2, 3, 4	ply1bas 19386	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
18	17	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃)) = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
19	16, 18	eqtr4i 2635	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((PwSer1‘𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
20		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)) = (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅))
21	19, 20, 13, 10	issubassa 19145	. . 3 ⊢ (((PwSer1‘𝑅) ∈ AssAlg ∧ (1r‘(PwSer1‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (Base‘𝑃) ⊆ (Base‘(PwSer1‘𝑅))) → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
22	9, 12, 15, 21	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ AssAlg ↔ ((Base‘𝑃) ∈ (SubRing‘(PwSer1‘𝑅)) ∧ (Base‘𝑃) ∈ (LSubSp‘(PwSer1‘𝑅)))))
23	6, 8, 22	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  SubRingcsubrg 18599  LSubSpclss 18753  AssAlgcasa 19130   mPoly cmpl 19174  PwSer₁cps1 19366  Poly₁cpl1 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-assa 19133  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373

This theorem is referenced by:  lply1binomsc  19498  evl1vsd  19529  pf1subrg  19533  evl1scvarpw  19548  mat2pmatmul  20355  mat2pmatlin  20359  monmatcollpw  20403  pmatcollpwlem  20404  chpscmatgsumbin  20468  fta1blem  23732