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Theorem mat2pmatmul 18999
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
mat2pmatbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat2pmatbas.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat2pmatbas.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mat2pmatbas.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mat2pmatbas0.h  |-  H  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( T `  ( x ( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, N, y    x, P, y    x, R, y   
x, T, y    x, A, y    x, C, y   
x, H, y

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables  m  i  j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
31, 2matmulr 18707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
43eqcomd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( .r `  A
)  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
54proplem3 14942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) )
6 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
8 crngrng 16996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  A
)
1211eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  A )
)
1312biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  ( Base `  A ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
161, 6matbas2 18690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
1815, 17eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1911eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  A )
)
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
2120ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
2216eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  y  e.  ( Base `  A )
) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  <->  y  e.  ( Base `  A )
) )
2421, 23mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 18655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
265, 25eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r `  R
) ( m y j ) ) ) ) ) )
27263ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( x ( .r
`  A ) y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
i x m )  =  ( k x m ) )
29 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
m y j )  =  ( m y l ) )
3028, 29oveqan12d 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) )  =  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) )
3130mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) ) ) )
3231oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  ( i  =  k  /\  j  =  l ) )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r `  R
) ( m y j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
34 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  N )
35 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
36 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) )  e. 
_V )
3827, 33, 34, 35, 37ovmpt2d 6412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l )  =  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
3938fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
( x ( .r
`  A ) y ) l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
40 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
41 rngcmn 17016 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
428, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. CMnd )
4342ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  R  e. CMnd )
44433ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
45 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4645ply1rng 18060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
478, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
48 rngmnd 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Mnd )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Mnd )
5049ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Mnd )
51503ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Mnd )
52103ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
54 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
5547adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  Ring )
5645ply1lmod 18064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
578, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  LMod )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  LMod )
5953, 54, 55, 58asclghm 17758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
6045ply1sca 18065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
6261oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R  GrpHom  P )  =  ( (Scalar `  P )  GrpHom  P ) )
6359, 62eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R  GrpHom  P ) )
64 ghmmhm 16072 . . . . . . . . . 10  |-  ( (algSc `  P )  e.  ( R  GrpHom  P )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6665adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
67663ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6893ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6968adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
7034adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  k  e.  N )
71 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  m  e.  N )
72153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  A ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
7473, 12sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  x  e.  B )
751, 6, 11, 70, 71, 74matecld 18695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
k x m )  e.  ( Base `  R
) )
7635adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  l  e.  N )
771fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
7811, 77eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
7978eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8079biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8180ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
82813ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8382adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8483, 79sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  B )
851, 6, 11, 71, 76, 84matecld 18695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )
866, 7rngcl 16999 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k x m )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( m
y l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  ( Base `  R
) )
8769, 75, 85, 86syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  ( Base `  R
) )
88 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) ) )
89 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) )  e. 
_V
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  _V )
91 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
9388, 52, 90, 92fsuppmptdm 7836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
946, 40, 44, 51, 52, 67, 87, 93gsummptmhm 16754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
9545ply1assa 18009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e. AssAlg )
9753, 54asclrhm 17762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. AssAlg  ->  (algSc `  P
)  e.  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
) RingHom  P ) )
9961oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R RingHom  P )  =  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
10098, 99eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )
)
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P ) )
1021013ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )
)
103102adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P ) )
104213ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  A ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
106105, 19sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  B )
1071, 6, 11, 71, 76, 106matecld 18695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )
108 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
1096, 7, 108rhmmul 17160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )  /\  ( k x m )  e.  ( Base `  R )  /\  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) ) ( .r `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) )
110103, 75, 107, 109syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) ) ( .r `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) )
111110mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  ( k x m ) ) ( .r
`  P ) ( (algSc `  P ) `  ( m y l ) ) ) ) )
112111oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) )
11339, 94, 1123eqtr2d 2514 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
( x ( .r
`  A ) y ) l ) )  =  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  ( k x m ) ) ( .r
`  P ) ( (algSc `  P ) `  ( m y l ) ) ) ) ) )
114113mpt2eq3dva 6343 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) ) )
115 mat2pmatbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( N Mat  P )
116 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
117 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
11847ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Ring )
119 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )
120 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )
12193ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
122 simp2 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
123 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
124 simp1rl 1061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  x  e.  B )
1251, 6, 11, 122, 123, 124matecld 18695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  R ) )
12645, 53, 6, 116ply1sclcl 18098 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i x j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i x j ) )  e.  (
Base `  P )
)
127121, 125, 126syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  ( Base `  P
) )
128 simp1rr 1062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  y  e.  B )
1291, 6, 11, 122, 123, 128matecld 18695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  R ) )
13045, 53, 6, 116ply1sclcl 18098 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i y j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i y j ) )  e.  (
Base `  P )
)
131121, 129, 130syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
132 oveq12 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( k  =  i  /\  m  =  j )  ->  ( k x m )  =  ( i x j ) )
133132fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  i  /\  m  =  j )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) )  =  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )
134133adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  ( k  =  i  /\  m  =  j ) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( k x m ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )
135 oveq12 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  i  /\  l  =  j )  ->  ( m y l )  =  ( i y j ) )
136135fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( m  =  i  /\  l  =  j )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( m
y l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )
137136adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  ( m  =  i  /\  l  =  j
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( m y l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )
138 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) )  e.  _V
139138a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  m  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) )  e.  _V )
140 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) )  e.  _V
141140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  m  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( m
y l ) )  e.  _V )
142115, 116, 117, 108, 118, 10, 119, 120, 127, 131, 134, 137, 139, 141mpt2matmul 18715 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) ( .r `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) ) )
143114, 142eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( .r
`  C ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) ) ) )
1441matrng 18712 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
1458, 144sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
146145anim1i 568 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )
147 3anass 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( A  e.  Ring  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
148146, 147sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
149 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
15011, 149rngcl 16999 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )
151148, 150syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )
152 mat2pmatbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
153152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 18992 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )  -> 
( T `  (
x ( .r `  A ) y ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
k ( x ( .r `  A ) y ) l ) ) ) )
15410, 9, 151, 153syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( .r `  A
) y ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
k ( x ( .r `  A ) y ) l ) ) ) )
155 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )
156155anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  x  e.  B )
)
157 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  x  e.  B ) )
158156, 157sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B ) )
159152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 18992 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
160158, 159syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
161 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
162161anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  y  e.  B )
)
163 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  y  e.  B ) )
164162, 163sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B ) )
165152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 18992 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
167160, 166oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( T `  x
) ( .r `  C ) ( T `
 y ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( .r
`  C ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) ) ) )
168143, 154, 1673eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
169168ralrimivva 2885 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( T `  ( x ( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   <.cotp 4035    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   Basecbs 14486   .rcmulr 14552  Scalarcsca 14554   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   MndHom cmhm 15775    GrpHom cghm 16059  CMndccmn 16594   Ringcrg 16986   CRingccrg 16987   RingHom crh 17145   LModclmod 17295  AssAlgcasa 17729  algSccascl 17731  Poly1cpl1 17987   maMul cmmul 18652   Mat cmat 18676   matToPolyMat cmat2pmat 18972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-submnd 15778  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mulg 15861  df-subg 15993  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-cring 16989  df-rnghom 17148  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-assa 17732  df-ascl 17734  df-psr 17776  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-ply1 17992  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mamu 18653  df-mat 18677  df-mat2pmat 18975
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  19001
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