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Theorem mat2pmatmul 19402
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices preserves the multiplication. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
mat2pmatbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat2pmatbas.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat2pmatbas.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mat2pmatbas.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mat2pmatbas0.h  |-  H  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmul  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( T `  ( x ( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, N, y    x, P, y    x, R, y   
x, T, y    x, A, y    x, C, y   
x, H, y

Proof of Theorem mat2pmatmul
Dummy variables  m  i  j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
31, 2matmulr 19110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
43eqcomd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( .r `  A
)  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) )
54oveqdr 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
7 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
8 crngring 17407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
98ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  R  e.  Ring )
10 simpll 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
11 mat2pmatbas.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  =  ( Base `  A
)
1211eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  A )
)
1312biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
1413adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  ( Base `  A ) )
1514adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
161, 6matbas2 19093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
1716adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
1815, 17eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
1911eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  A )
)
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
2120ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
2216eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  y  e.  ( Base `  A )
) )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
y  e.  ( (
Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  <->  y  e.  ( Base `  A )
) )
2421, 23mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
252, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 18, 24mamuval 19058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
265, 25eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r `  R
) ( m y j ) ) ) ) ) )
27263ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( x ( .r
`  A ) y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) ) ) )
28 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
i x m )  =  ( k x m ) )
29 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  l  ->  (
m y j )  =  ( m y l ) )
3028, 29oveqan12d 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) )  =  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) )
3130mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) ) ) )
3231oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  k  /\  j  =  l )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r
`  R ) ( m y j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
3332adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  ( i  =  k  /\  j  =  l ) )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( i x m ) ( .r `  R
) ( m y j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
34 simp2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  N )
35 simp3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
36 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) )  e. 
_V )
3827, 33, 34, 35, 37ovmpt2d 6403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l )  =  ( R 
gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) )
3938fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
( x ( .r
`  A ) y ) l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
40 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
41 ringcmn 17427 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
428, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e. CMnd )
4342ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  R  e. CMnd )
44433ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
45 mat2pmatbas.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4645ply1ring 18487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
478, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Ring )
48 ringmnd 17405 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Mnd )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  Mnd )
5049ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Mnd )
51503ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Mnd )
52103ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
53 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
54 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
5547adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  Ring )
5645ply1lmod 18491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
578, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  LMod )
5857adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e.  LMod )
5953, 54, 55, 58asclghm 18185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
6045ply1sca 18492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
6160adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
6261oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R  GrpHom  P )  =  ( (Scalar `  P )  GrpHom  P ) )
6359, 62eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R  GrpHom  P ) )
64 ghmmhm 16479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (algSc `  P )  e.  ( R  GrpHom  P )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6665adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
67663ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R MndHom  P ) )
6893ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
6968adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
7034adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  k  e.  N )
71 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  m  e.  N )
72153ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  A ) )
7372adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  x  e.  ( Base `  A
) )
7473, 12sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  x  e.  B )
751, 6, 11, 70, 71, 74matecld 19098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
k x m )  e.  ( Base `  R
) )
7635adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  l  e.  N )
771fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( N Mat  R ) )
7811, 77eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  ( N Mat  R ) )
7978eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8079biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8180ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
82813ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8382adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  ( N Mat  R ) ) )
8483, 79sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  B )
851, 6, 11, 71, 76, 84matecld 19098 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )
866, 7ringcl 17410 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k x m )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( m
y l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  ( Base `  R
) )
8769, 75, 85, 86syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  ( Base `  R
) )
88 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) ) )
89 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) )  e. 
_V
9089a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
( k x m ) ( .r `  R ) ( m y l ) )  e.  _V )
91 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
9388, 52, 90, 92fsuppmptdm 7832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) )
946, 40, 44, 51, 52, 67, 87, 93gsummptmhm 17164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( R  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) ) ) ) )
9545ply1assa 18436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
9695adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  P  e. AssAlg )
9753, 54asclrhm 18189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e. AssAlg  ->  (algSc `  P
)  e.  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
) RingHom  P ) )
9961oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
( R RingHom  P )  =  ( (Scalar `  P ) RingHom  P ) )
10098, 99eleqtrrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  -> 
(algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )
)
101100adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P ) )
1021013ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )
)
103102adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P ) )
104213ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  A ) )
105104adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  ( Base `  A
) )
106105, 19sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  y  e.  B )
1071, 6, 11, 71, 76, 106matecld 19098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )
108 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
1096, 7, 108rhmmul 17574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( R RingHom  P )  /\  ( k x m )  e.  ( Base `  R )  /\  (
m y l )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) ) ( .r `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) )
110103, 75, 107, 109syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N
)  /\  m  e.  N )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( ( k x m ) ( .r
`  R ) ( m y l ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) ) ( .r `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) )
111110mpteq2dva 4525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) )  =  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  ( k x m ) ) ( .r
`  P ) ( (algSc `  P ) `  ( m y l ) ) ) ) )
112111oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( (
k x m ) ( .r `  R
) ( m y l ) ) ) ) )  =  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) )
11339, 94, 1123eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
( x ( .r
`  A ) y ) l ) )  =  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  ( k x m ) ) ( .r
`  P ) ( (algSc `  P ) `  ( m y l ) ) ) ) ) )
114113mpt2eq3dva 6334 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) ) )
115 mat2pmatbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( N Mat  P )
116 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
117 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .r
`  C )  =  ( .r `  C
)
11847ad2antlr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Ring )
119 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )
120 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )
12193ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
122 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
123 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
124 simp1rl 1059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  x  e.  B )
1251, 6, 11, 122, 123, 124matecld 19098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  R ) )
12645, 53, 6, 116ply1sclcl 18525 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i x j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i x j ) )  e.  (
Base `  P )
)
127121, 125, 126syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  ( Base `  P
) )
128 simp1rr 1060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  y  e.  B )
1291, 6, 11, 122, 123, 128matecld 19098 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  R ) )
13045, 53, 6, 116ply1sclcl 18525 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i y j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i y j ) )  e.  (
Base `  P )
)
131121, 129, 130syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
132 oveq12 6279 . . . . . . 7  |-  ( ( k  =  i  /\  m  =  j )  ->  ( k x m )  =  ( i x j ) )
133132fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  i  /\  m  =  j )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) )  =  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )
134133adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  ( k  =  i  /\  m  =  j ) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( k x m ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )
135 oveq12 6279 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  i  /\  l  =  j )  ->  ( m y l )  =  ( i y j ) )
136135fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( m  =  i  /\  l  =  j )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( m
y l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )
137136adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  ( m  =  i  /\  l  =  j
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( m y l ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )
138 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) )  e.  _V
139138a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  k  e.  N  /\  m  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( k
x m ) )  e.  _V )
140 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) )  e.  _V
141140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  CRing
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  m  e.  N  /\  l  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( m
y l ) )  e.  _V )
142115, 116, 117, 108, 118, 10, 119, 120, 127, 131, 134, 137, 139, 141mpt2matmul 19118 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) ( .r `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( P  gsumg  ( m  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P ) `  (
k x m ) ) ( .r `  P ) ( (algSc `  P ) `  (
m y l ) ) ) ) ) ) )
143114, 142eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
k  e.  N , 
l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( k ( x ( .r `  A
) y ) l ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( .r
`  C ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) ) ) )
1441matring 19115 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
1458, 144sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A  e.  Ring )
146145anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Ring  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )
147 3anass 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( A  e.  Ring  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
148146, 147sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
149 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
15011, 149ringcl 17410 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )
151148, 150syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )
152 mat2pmatbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
153152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 19395 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( .r `  A ) y )  e.  B )  -> 
( T `  (
x ( .r `  A ) y ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
k ( x ( .r `  A ) y ) l ) ) ) )
15410, 9, 151, 153syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( .r `  A
) y ) )  =  ( k  e.  N ,  l  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
k ( x ( .r `  A ) y ) l ) ) ) )
155 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )
156155anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  x  e.  B )
)
157 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  x  e.  B ) )
158156, 157sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B ) )
159152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 19395 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
160158, 159syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
161 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
162161anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  y  e.  B )
)
163 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  y  e.  B ) )
164162, 163sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B ) )
165152, 1, 11, 45, 53mat2pmatval 19395 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing  /\  y  e.  B )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
167160, 166oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( T `  x
) ( .r `  C ) ( T `
 y ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( .r
`  C ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) ) ) )
168143, 154, 1673eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
169168ralrimivva 2875 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  CRing )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( T `  ( x ( .r `  A
) y ) )  =  ( ( T `
 x ) ( .r `  C ) ( T `  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   <.cotp 4024    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14719   .rcmulr 14788  Scalarcsca 14790   0gc0g 14932    gsumg cgsu 14933   Mndcmnd 16121   MndHom cmhm 16166    GrpHom cghm 16466  CMndccmn 17000   Ringcrg 17396   CRingccrg 17397   RingHom crh 17559   LModclmod 17710  AssAlgcasa 18156  algSccascl 18158  Poly1cpl1 18414   maMul cmmul 19055   Mat cmat 19079   matToPolyMat cmat2pmat 19375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-rnghom 17562  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-assa 18159  df-ascl 18161  df-psr 18203  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-psr1 18417  df-ply1 18419  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mamu 19056  df-mat 19080  df-mat2pmat 19378
This theorem is referenced by:  mat2pmatmhm  19404
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