Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrdi 19227
 Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
psrdi.a + = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrdi (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝐵)
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 19203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) = (𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍))
87fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
98ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))
10 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
11 psrring.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼𝑉)
1211ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
13 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
1715, 16psrbagconcl 19194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1812, 13, 14, 17syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
1910, 18sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
20 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 19200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 5959 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌 Fn 𝐷)
241, 20, 15, 2, 6psrelbas 19200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2625ffnd 5959 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑍 Fn 𝐷)
27 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
2815, 27rabex2 4742 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐷 ∈ V)
30 inidm 3784 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐷) = 𝐷
31 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))
32 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))
3323, 26, 29, 29, 30, 31, 32ofval 6804 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3419, 33mpdan 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌𝑓 (+g𝑅)𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
359, 34eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
3635oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
37 psrring.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3837ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
39 psrass.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝐵)
401, 20, 15, 2, 39psrelbas 19200 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4140ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4210, 14sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
4341, 42ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4422, 19ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
4525, 19ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
46 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4720, 3, 46ringdi 18389 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4838, 43, 44, 45, 47syl13anc 1320 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))(+g𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4936, 48eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))) = (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5049mpteq2dva 4672 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5115psrbaglefi 19193 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5211, 51sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5320, 46ringcl 18384 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5438, 43, 44, 53syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5520, 46ringcl 18384 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5638, 43, 45, 55syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
57 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
58 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5952, 54, 56, 57, 58offval2 6812 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))(+g𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6050, 59eqtr4d 2647 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))
6160oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6237adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
63 ringcmn 18404 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
65 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
66 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))
6720, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66gsummptfidmadd2 18149 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6861, 67eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6968mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
70 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
71 ringgrp 18375 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7237, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
731, 2, 4, 72, 5, 6psraddcl 19204 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝐵)
741, 2, 46, 70, 15, 39, 73psrmulfval 19206 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝑌 + 𝑍)‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
751, 2, 70, 37, 39, 5psrmulcl 19209 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
761, 2, 70, 37, 39, 6psrmulcl 19209 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) ∈ 𝐵)
771, 2, 3, 4, 75, 76psradd 19203 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)))
7828a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
79 ovex 6577 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
8079a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
81 ovex 6577 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
8281a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
831, 2, 46, 70, 15, 39, 5psrmulfval 19206 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
841, 2, 46, 70, 15, 39, 6psrmulfval 19206 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑍) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8578, 80, 82, 83, 84offval2 6812 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8677, 85eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)) = (𝑘𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))(+g𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8769, 74, 863eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑋 × 𝑌) + (𝑋 × 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769   Σg cgsu 15924  Grpcgrp 17245  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psrring  19232
 Copyright terms: Public domain W3C validator