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Theorem psrdi 17456
Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrrng.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
psrrng.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
psrrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
psrass.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrass.t  |-  .X.  =  ( .r `  S )
psrass.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
psrass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
psrass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
psrass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
psrdi.a  |-  .+  =  ( +g  `  S )
Assertion
Ref Expression
psrdi  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Distinct variable groups:    f, I    R, f    f, X    f, Z    f, Y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( f)    D( f)    .+ ( f)    S( f)   
.X. ( f)    V( f)

Proof of Theorem psrdi
Dummy variables  x  k  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrrng.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 psrass.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 psrdi.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  S )
5 psrass.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
6 psrass.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 17430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =  ( Y  oF ( +g  `  R ) Z ) )
87fveq1d 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  oF  -  x ) )  =  ( ( Y  oF ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  oF  -  x ) ) )
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  oF  -  x ) )  =  ( ( Y  oF ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  oF  -  x ) ) )
10 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  C_  D
11 psrrng.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  I  e.  V )
13 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
k  e.  D )
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
15 psrass.d . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  =  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
1715, 16psrbagconcl 17420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  ->  ( k  oF  -  x
)  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )
1812, 13, 14, 17syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )
1910, 18sseldi 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( k  oF  -  x )  e.  D )
20 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
211, 20, 15, 2, 5psrelbas 17427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y : D --> ( Base `  R ) )
23 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : D --> ( Base `  R )  ->  Y  Fn  D )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Y  Fn  D )
251, 20, 15, 2, 6psrelbas 17427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Z : D --> ( Base `  R ) )
27 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : D --> ( Base `  R )  ->  Z  Fn  D )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  Z  Fn  D )
29 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
3029rabex 4438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f " NN )  e.  Fin }  e.  _V
3115, 30eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  D  e.  _V )
33 inidm 3554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  i^i  D )  =  D
34 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  =  ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) )
35 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  =  ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) )
3624, 28, 32, 32, 33, 34, 35ofval 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k } )  /\  (
k  oF  -  x )  e.  D
)  ->  ( ( Y  oF ( +g  `  R ) Z ) `
 ( k  oF  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ( +g  `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) ) )
3719, 36mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y  oF ( +g  `  R
) Z ) `  ( k  oF  -  x ) )  =  ( ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
389, 37eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( Y  .+  Z ) `  (
k  oF  -  x ) )  =  ( ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ( +g  `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
3938oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
40 psrrng.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  R  e.  Ring )
42 psrass.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
431, 20, 15, 2, 42psrelbas 17427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  X : D --> ( Base `  R ) )
4510, 14sseldi 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  ->  x  e.  D )
4644, 45ffvelrnd 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( X `  x
)  e.  ( Base `  R ) )
4722, 19ffvelrnd 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Y `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
4826, 19ffvelrnd 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( Z `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )
49 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5020, 3, 49rngdi 16651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( X `  x
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x
) )  e.  (
Base `  R )  /\  ( Z `  (
k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
5141, 46, 47, 48, 50syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ( +g  `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )
5239, 51eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  oF  -  x
) ) )  =  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
5352mpteq2dva 4373 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R
) ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
5415psrbaglefi 17418 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin )
5511, 54sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  Fin )
5620, 49rngcl 16646 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Y `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5741, 46, 47, 56syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
5820, 49rngcl 16646 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  x )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( Z `  ( k  oF  -  x ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  x
) ( .r `  R ) ( Z `
 ( k  oF  -  x ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
5941, 46, 48, 58syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  x  e.  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k } )  -> 
( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) )  e.  ( Base `  R
) )
60 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
61 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) )
6255, 57, 59, 60, 61offval2 6331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( ( X `  x
) ( .r `  R ) ( Y `
 ( k  oF  -  x ) ) ) ( +g  `  R ) ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6353, 62eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( ( Y  .+  Z ) `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  =  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R ) ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )
6463oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
65 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
6640adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
67 rngcmn 16663 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
6866, 67syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
69 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
7057, 69fmptd 5862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
71 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) )  =  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
7259, 71fmptd 5862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) : { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
7331a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  D  e.  _V )
74 rabexg 4437 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  _V  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  _V )
7573, 74syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  e.  _V )
76 mptexg 5942 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  _V  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
78 funmpt 5449 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
7978a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Fun  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
80 fvex 5696 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
82 suppssdm 6698 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
8369dmmptss 5329 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
8482, 83sstri 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
86 suppssfifsupp 7627 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
8777, 79, 81, 55, 85, 86syl32anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
88 mptexg 5942 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  e.  _V  ->  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
8975, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V )
90 funmpt 5449 . . . . . . 7  |-  Fun  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )
9190a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Fun  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )
92 suppssdm 6698 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  dom  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )
9371dmmptss 5329 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) )  C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
9492, 93sstri 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }
9594a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
)
96 suppssfifsupp 7627 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  e.  _V  /\ 
Fun  ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  /\  ( 0g `  R )  e. 
_V )  /\  ( { y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  e.  Fin  /\  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }
) )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
9789, 91, 81, 55, 95, 96syl32anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
9820, 65, 3, 68, 55, 70, 72, 87, 97gsumadd 16403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) )  oF ( +g  `  R
) ( x  e. 
{ y  e.  D  |  y  oR 
<_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
9964, 98eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
10099mpteq2dva 4373 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( ( Y 
.+  Z ) `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
101 psrass.t . . 3  |-  .X.  =  ( .r `  S )
102 rnggrp 16638 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
10340, 102syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
1041, 2, 4, 103, 5, 6psraddcl 17431 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  B )
1051, 2, 49, 101, 15, 42, 104psrmulfval 17433 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( ( Y  .+  Z
) `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) )
1061, 2, 101, 40, 42, 5psrmulcl 17436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  e.  B )
1071, 2, 101, 40, 42, 6psrmulcl 17436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  e.  B )
1081, 2, 3, 4, 106, 107psradd 17430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  oF ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) ) )
10931a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
110 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
111110a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Y `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
112 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) )  e.  _V
113112a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  {
y  e.  D  | 
y  oR  <_ 
k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r `  R
) ( Z `  ( k  oF  -  x ) ) ) ) )  e. 
_V )
1141, 2, 49, 101, 15, 42, 5psrmulfval 17433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Y
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
1151, 2, 49, 101, 15, 42, 6psrmulfval 17433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  Z
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) )
116109, 111, 113, 114, 115offval2 6331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  oF ( +g  `  R
) ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Y `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `  x ) ( .r
`  R ) ( Z `  ( k  oF  -  x
) ) ) ) ) ) ) )
117108, 116eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Y `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ( +g  `  R ) ( R 
gsumg  ( x  e.  { y  e.  D  |  y  oR  <_  k }  |->  ( ( X `
 x ) ( .r `  R ) ( Z `  (
k  oF  -  x ) ) ) ) ) ) ) )
118100, 105, 1173eqtr4d 2480 1  |-  ( ph  ->  ( X  .X.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.X.  Y )  .+  ( X  .X.  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   "cima 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313    oRcofr 6314   supp csupp 6685    ^m cmap 7206   Fincfn 7302   finSupp cfsupp 7612    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Grpcgrp 15402  CMndccmn 16268   Ringcrg 16633   mPwSer cmps 17395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-psr 17400
This theorem is referenced by:  psrrng  17460
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