Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrring 19232
 Description: The ring of power series is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
psrring (𝜑𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem psrring
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (+g𝑆) = (+g𝑆))
3 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (.r𝑆) = (.r𝑆))
4 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
94, 5, 8psrgrp 19219 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
10 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11 eqid 2610 . . 3 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1263ad2ant1 1075 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simp2 1055 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
14 simp3 1056 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
154, 10, 11, 12, 13, 14psrmulcl 19209 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ (Base‘𝑆))
165adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼𝑉)
176adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2610 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simpr1 1060 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simpr2 1061 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
21 simpr3 1062 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
224, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21psrass1 19226 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = (𝑥(.r𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
23 eqid 2610 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
244, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdi 19227 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥(.r𝑆)(𝑦(+g𝑆)𝑧)) = ((𝑥(.r𝑆)𝑦)(+g𝑆)(𝑥(.r𝑆)𝑧)))
254, 16, 17, 18, 11, 10, 19, 20, 21, 23psrdir 19228 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥(+g𝑆)𝑦)(.r𝑆)𝑧) = ((𝑥(.r𝑆)𝑧)(+g𝑆)(𝑦(.r𝑆)𝑧)))
26 eqid 2610 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
27 eqid 2610 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
28 eqid 2610 . . 3 (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))
294, 5, 6, 18, 26, 27, 28, 10psr1cl 19223 . 2 (𝜑 → (𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ (Base‘𝑆))
305adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
316adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
32 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
334, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrlidm 19224 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))(.r𝑆)𝑥) = 𝑥)
344, 30, 31, 18, 26, 27, 28, 10, 11, 32psrridm 19225 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)(𝑟 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑟 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = 𝑥)
351, 2, 3, 9, 15, 22, 24, 25, 29, 33, 34isringd 18408 1 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  1rcur 18324  Ringcrg 18370   mPwSer cmps 19172 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-psr 19177 This theorem is referenced by:  psr1  19233  psrcrng  19234  psrassa  19235  subrgpsr  19240  mplsubrg  19261  opsrring  19436
 Copyright terms: Public domain W3C validator