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Theorem scmatscm 20138
 Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatscm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatscm.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatscm.m × = (.r𝐴)
scmatscm.c 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐶,𝑐,𝑚   𝐾,𝑐,𝑚   𝑁,𝑐,𝑚   𝑅,𝑐,𝑚   𝑆,𝑐,𝑚   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑚,𝑐)   × (𝑚,𝑐)   (𝑐)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatscm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatscm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2610 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 scmatscm.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatscm.c . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20131 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
873expa 1257 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
9 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚))
10 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1110ad4antr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
142matring 20068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
153, 4ringidcl 18391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1817anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((1r𝐴) ∈ 𝐵𝑐𝐾))
1918ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
201, 2, 3, 5matvscl 20056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2113, 19, 20syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2221anim1i 590 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
24 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
25 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 × = (.r𝐴)
272, 3, 25, 26matmulcell 20070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2811, 23, 24, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2912anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
30 df-3an 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
3129, 30sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
3231ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
33 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
342, 1, 5, 33matsc 20075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
36 eqeq12 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → (𝑥 = 𝑦𝑖 = 𝑘))
3736ifbid 4058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
39 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
43 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ V
44 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) ∈ V
4543, 44ifex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V)
4735, 38, 41, 42, 46ovmpt2d 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
4847oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
4948mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
51 ovif 6635 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
52 simp-6r 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
5554ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑚𝐵)
562, 1, 3, 42, 53, 55matecld 20051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾)
571, 25, 33ringlz 18410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5852, 56, 57syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5958ifeq2d 4055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6051, 59syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6160mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))))
63 ringmnd 18379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Mnd)
6564ad4antr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
6766ad4antr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
68 equcom 1932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
69 ifbi 4057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))
7170mpteq2i 4669 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
721eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7372biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7574ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
76 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
772, 76, 3, 42, 53, 55matecld 20051 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
7876, 25ringcl 18384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
7952, 75, 77, 78syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8079ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑘𝑁 (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8133, 65, 67, 40, 71, 80gsummpt1n0 18187 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
8250, 62, 813eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
83 csbov2g 6589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)))
84 csbov1g 6588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗))
85 csbvarg 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
8685oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁 → (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8784, 86eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8887oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁 → (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
8983, 88eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9228, 82, 913eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
93 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
9493anim1i 590 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
962, 3, 1, 5, 25matvscacell 20061 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9711, 95, 24, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9892, 97eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
9998ralrimivva 2954 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
10014ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
10121adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1023, 26ringcl 18384 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
103100, 101, 54, 102syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
10412ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1051, 2, 3, 5matvscl 20056 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵)) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
106104, 94, 105syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
1072, 3eqmat 20049 . . . . . . . 8 ((((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
108103, 106, 107syl2anc 691 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
10999, 108mpbird 246 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
1109, 109sylan9eqr 2666 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
111110ex 449 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
112111ralrimdva 2952 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∀𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
113112reximdva 3000 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
1148, 113mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ⦋csb 3499  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  1rcur 18324  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032   ScMat cscmat 20114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-scmat 20116 This theorem is referenced by: (None)
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