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Theorem scmatscm 19469
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
scmatscm.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatscm.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatscm.t  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatscm.m  |-  .X.  =  ( .r `  A )
scmatscm.c  |-  S  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatscm  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Distinct variable groups:    A, m    C, c, m    K, c, m    N, c, m    R, c, m    S, c, m    .* , m
Allowed substitution hints:    A( c)    B( m, c)    .X. ( m, c)    .* ( c)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables  i 
j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 scmatscm.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatscm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2429 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
5 scmatscm.t . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  A )
6 scmatscm.c . . . 4  |-  S  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 19462 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  C  e.  S )  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
873expa 1205 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
9 oveq1 6312 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) )
10 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1110ad4antr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
12 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
142matring 19399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
153, 4ringidcl 17736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( 1r `  A )  e.  B
)
1817anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( 1r `  A
)  e.  B  /\  c  e.  K )
)
1918ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  e.  K  /\  ( 1r `  A )  e.  B ) )
201, 2, 3, 5matvscl 19387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  ( 1r `  A
)  e.  B ) )  ->  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  e.  B
)
2113, 19, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
2221anim1i 570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
2322adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
24 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )
25 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( .r `  A )
272, 3, 25, 26matmulcell 19401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2811, 23, 24, 27syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2912anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K
) )
30 df-3an 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K ) )
3129, 30sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
3231ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
33 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
342, 1, 5, 33matsc 19406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
36 eqeq12 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  k ) )
3736ifbid 3937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  /\  (
x  =  i  /\  y  =  k )
)  ->  if (
x  =  y ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
39 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
42 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
43 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
44 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4543, 44ifex 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
4735, 38, 41, 42, 46ovmpt2d 6438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
4847oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )
4948mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) ) )
5049oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) ) )
51 ovif 6387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
52 simp-6r 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
53 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
54 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
5554ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  m  e.  B )
562, 1, 3, 42, 53, 55matecld 19382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  K )
571, 25, 33ringlz 17752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k m j )  e.  K )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5852, 56, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g `  R ) )
5958ifeq2d 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
6051, 59syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) )
6160mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
6261oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R
) ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R
) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
63 ringmnd 17724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Mnd )
6564ad4antr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Mnd )
66 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
6766ad4antr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
68 equcom 1846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  <->  k  =  i )
69 ifbi 3936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  k  <->  k  =  i )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )
7170mpteq2i 4509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
721eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  K  <->  c  e.  ( Base `  R )
)
7372biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  K  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7473adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7574ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
76 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
772, 76, 3, 42, 53, 55matecld 19382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  ( Base `  R
) )
7876, 25ringcl 17729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k
m j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
7952, 75, 77, 78syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8079ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( c
( .r `  R
) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8133, 65, 67, 40, 71, 80gsummpt1n0 17532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  = 
[_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) )
8250, 62, 813eqtrd 2474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
83 csbov2g 6343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R )
[_ i  /  k ]_ ( k m j ) ) )
84 csbov1g 6342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( [_ i  /  k ]_ k
m j ) )
85 csbvarg 3826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ k  =  i )
8685oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  ( [_ i  /  k ]_ k m j )  =  ( i m j ) )
8784, 86eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( i m j ) )
8887oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  N  ->  (
c ( .r `  R ) [_ i  /  k ]_ (
k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
8983, 88eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  [_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
9190adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  [_ i  / 
k ]_ ( c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9228, 82, 913eqtrd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
93 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  K )
9493anim1i 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )
)
9594adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  K  /\  m  e.  B ) )
962, 3, 1, 5, 25matvscacell 19392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( c  .*  m ) j )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9711, 95, 24, 96syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( c  .*  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
9892, 97eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
9998ralrimivva 2853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
10014ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A  e.  Ring )
10121adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
1023, 26ringcl 17729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
103100, 101, 54, 102syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
10412ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
1051, 2, 3, 5matvscl 19387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  m  e.  B
) )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
106104, 94, 105syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
1072, 3eqmat 19380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  e.  B  /\  ( c  .*  m
)  e.  B )  ->  ( ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
)  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m ) j )  =  ( i ( c  .*  m
) j ) ) )
108103, 106, 107syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  =  ( c  .*  m )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) ) )
10999, 108mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
) )
1109, 109sylan9eqr 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) ) )  -> 
( C  .X.  m
)  =  ( c  .*  m ) )
111110ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m
) ) )
112111ralrimdva 2850 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
113112reximdva 2907 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
1148, 113mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087   [_csb 3401   ifcif 3915    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Fincfn 7577   Basecbs 15084   .rcmulr 15153   .scvsca 15156   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298   Mndcmnd 16486   1rcur 17670   Ringcrg 17715   Mat cmat 19363   ScMat cscmat 19445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-ghm 16832  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mamu 19340  df-mat 19364  df-scmat 19447
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