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Theorem scmatscm 18861
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
scmatscm.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatscm.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatscm.t  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatscm.m  |-  .X.  =  ( .r `  A )
scmatscm.c  |-  S  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatscm  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Distinct variable groups:    A, m    C, c, m    K, c, m    N, c, m    R, c, m    S, c, m    .* , m
Allowed substitution hints:    A( c)    B( m, c)    .X. ( m, c)    .* ( c)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables  i 
j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 scmatscm.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatscm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
5 scmatscm.t . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  A )
6 scmatscm.c . . . 4  |-  S  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 18854 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  C  e.  S )  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
873expa 1196 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
9 oveq1 6301 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1110ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
12 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
142matring 18791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
153, 4ringidcl 17068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( 1r `  A )  e.  B
)
1817anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( 1r `  A
)  e.  B  /\  c  e.  K )
)
1918ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  e.  K  /\  ( 1r `  A )  e.  B ) )
201, 2, 3, 5matvscl 18779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  ( 1r `  A
)  e.  B ) )  ->  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  e.  B
)
2113, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
2221anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
24 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( .r `  A )
272, 3, 25, 26matmulcell 18793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2811, 23, 24, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2912anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K
) )
30 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
3231ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
342, 1, 5, 33matsc 18798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3635oveqd 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k )  =  ( i ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) k ) )
37 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e.  N , 
y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
38 eqeq12 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  k ) )
3938ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  /\  (
x  =  i  /\  y  =  k )
)  ->  if (
x  =  y ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
41 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
44 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
45 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  c  e. 
_V
46 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4745, 46ifex 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
4937, 40, 43, 44, 48ovmpt2d 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) k )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
5036, 49eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
5150oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )
5251mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) ) )
5352oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) ) )
54 ovif 6373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
55 simp-6r 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
56 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  m  e.  B )
592, 1, 3, 44, 56, 58matecld 18774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  K )
601, 25, 33ringlz 17084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k m j )  e.  K )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g
`  R ) )
6155, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g `  R ) )
6261ifeq2d 3963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
6354, 62syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) )
6463mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
6564oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R
) ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R
) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
66 ringmnd 17056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Mnd )
6867ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Mnd )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
7069ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
71 equcom 1743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  <->  k  =  i )
72 ifbi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  =  k  <->  k  =  i )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )
7473mpteq2i 4535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
751eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  K  <->  c  e.  ( Base `  R )
)
7675biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  K  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7877ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
802, 79, 3, 44, 56, 58matecld 18774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  ( Base `  R
) )
8179, 25ringcl 17061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k
m j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8255, 78, 80, 81syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8382ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( c
( .r `  R
) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8433, 68, 70, 42, 74, 83gsummpt1n0 16842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  = 
[_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) )
8553, 65, 843eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
86 csbov2g 6330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R )
[_ i  /  k ]_ ( k m j ) ) )
87 csbov1g 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( [_ i  /  k ]_ k
m j ) )
88 csbvarg 3853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ k  =  i )
8988oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  N  ->  ( [_ i  /  k ]_ k m j )  =  ( i m j ) )
9087, 89eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( i m j ) )
9190oveq2d 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  (
c ( .r `  R ) [_ i  /  k ]_ (
k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
9286, 91eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  [_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  [_ i  / 
k ]_ ( c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9528, 85, 943eqtrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
96 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  K )
9796anim1i 568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )
)
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  K  /\  m  e.  B ) )
992, 3, 1, 5, 25matvscacell 18784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( c  .*  m ) j )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
10011, 98, 24, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( c  .*  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
10195, 100eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
102101ralrimivva 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
10314ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A  e.  Ring )
10421adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
1053, 26ringcl 17061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
106103, 104, 57, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
10712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
1081, 2, 3, 5matvscl 18779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  m  e.  B
) )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
109107, 97, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
1102, 3eqmat 18772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  e.  B  /\  ( c  .*  m
)  e.  B )  ->  ( ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
)  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m ) j )  =  ( i ( c  .*  m
) j ) ) )
111106, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  =  ( c  .*  m )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) ) )
112102, 111mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
) )
1139, 112sylan9eqr 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) ) )  -> 
( C  .X.  m
)  =  ( c  .*  m ) )
114113ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m
) ) )
115114impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) ) )  -> 
( m  e.  B  ->  ( C  .X.  m
)  =  ( c  .*  m ) ) )
116115ralrimiv 2879 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) ) )  ->  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
117116ex 434 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
118117reximdva 2942 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
1198, 118mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [_csb 3440   ifcif 3944    |-> cmpt 4510   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    |-> cmpt2 6296   Fincfn 7526   Basecbs 14502   .rcmulr 14568   .scvsca 14571   0gc0g 14707    gsumg cgsu 14708   Mndcmnd 15772   1rcur 17002   Ringcrg 17047   Mat cmat 18755   ScMat cscmat 18837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-hash 12384  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-gsum 14710  df-prds 14715  df-pws 14717  df-mre 14853  df-mrc 14854  df-acs 14856  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-mhm 15819  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-mulg 15909  df-subg 16047  df-ghm 16114  df-cntz 16204  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-subrg 17275  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-dsmm 18609  df-frlm 18624  df-mamu 18732  df-mat 18756  df-scmat 18839
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