MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatscm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem scmatscm 19615
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
scmatscm.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
scmatscm.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
scmatscm.t  |-  .*  =  ( .s `  A )
scmatscm.m  |-  .X.  =  ( .r `  A )
scmatscm.c  |-  S  =  ( N ScMat  R )
Assertion
Ref Expression
scmatscm  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Distinct variable groups:    A, m    C, c, m    K, c, m    N, c, m    R, c, m    S, c, m    .* , m
Allowed substitution hints:    A( c)    B( m, c)    .X. ( m, c)    .* ( c)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables  i 
j  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 scmatscm.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 scmatscm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2471 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
5 scmatscm.t . . . 4  |-  .*  =  ( .s `  A )
6 scmatscm.c . . . 4  |-  S  =  ( N ScMat  R )
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 19608 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  C  e.  S )  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
873expa 1231 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A ) ) )
9 oveq1 6315 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) )
10 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
1110ad4antr 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
12 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
Ring ) )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
142matring 19545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
153, 4ringidcl 17879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  B )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  e.  B )
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( 1r `  A )  e.  B
)
1817anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( 1r `  A
)  e.  B  /\  c  e.  K )
)
1918ancomd 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  e.  K  /\  ( 1r `  A )  e.  B ) )
201, 2, 3, 5matvscl 19533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  ( 1r `  A
)  e.  B ) )  ->  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  e.  B
)
2113, 19, 20syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
2221anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B ) )
24 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )
25 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .X.  =  ( .r `  A )
272, 3, 25, 26matmulcell 19547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( c  .*  ( 1r `  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2811, 23, 24, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) k ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) ) )
2912anim1i 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K
) )
30 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  c  e.  K ) )
3129, 30sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
3231ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K ) )
33 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
342, 1, 5, 33matsc 19552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  c  e.  K )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  =  ( x  e.  N ,  y  e.  N  |->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ) )
36 eqeq12 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  ( x  =  y  <-> 
i  =  k ) )
3736ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  i  /\  y  =  k )  ->  if ( x  =  y ,  c ,  ( 0g `  R
) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  /\  (
x  =  i  /\  y  =  k )
)  ->  if (
x  =  y ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
39 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  i  e.  N )
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  i  e.  N )
42 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  k  e.  N )
43 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  c  e. 
_V
44 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4543, 44ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
4735, 38, 41, 42, 46ovmpt2d 6443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k )  =  if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) )
4847oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )
4948mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A
) ) k ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g
`  R ) ) ( .r `  R
) ( k m j ) ) ) )
5049oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) ) )
51 ovif 6392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g
`  R ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
52 simp-6r 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
53 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  j  e.  N )
54 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  m  e.  B )
5554ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  m  e.  B )
562, 1, 3, 42, 53, 55matecld 19528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  K )
571, 25, 33ringlz 17895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
k m j )  e.  K )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g
`  R ) )
5852, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( 0g `  R ) )
5958ifeq2d 3891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( ( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
6051, 59syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) )
6160mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R ) ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
6261oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( if ( i  =  k ,  c ,  ( 0g `  R
) ) ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R
) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R
) ) ) ) )
63 ringmnd 17867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Mnd )
6564ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  R  e.  Mnd )
66 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
6766ad4antr 746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
68 equcom 1870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  <->  k  =  i )
69 ifbi 3893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  =  k  <->  k  =  i )  ->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) )  =  if ( k  =  i ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) )
7170mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( k  e.  N  |->  if ( k  =  i ,  ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g
`  R ) ) )
721eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  K  <->  c  e.  ( Base `  R )
)
7372biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  K  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
7574ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  c  e.  ( Base `  R
) )
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
772, 76, 3, 42, 53, 55matecld 19528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
k m j )  e.  ( Base `  R
) )
7876, 25ringcl 17872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  ( k
m j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
7952, 75, 77, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  /\  k  e.  N )  ->  (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8079ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  A. k  e.  N  ( c
( .r `  R
) ( k m j ) )  e.  ( Base `  R
) )
8133, 65, 67, 40, 71, 80gsummpt1n0 17675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  if ( i  =  k ,  ( c ( .r `  R ) ( k m j ) ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  = 
[_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) ) )
8250, 62, 813eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  N  |->  ( ( i ( c  .*  ( 1r `  A ) ) k ) ( .r `  R ) ( k m j ) ) ) )  =  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) ) )
83 csbov2g 6346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R )
[_ i  /  k ]_ ( k m j ) ) )
84 csbov1g 6345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( [_ i  /  k ]_ k
m j ) )
85 csbvarg 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ k  =  i )
8685oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  N  ->  ( [_ i  /  k ]_ k m j )  =  ( i m j ) )
8784, 86eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
k m j )  =  ( i m j ) )
8887oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  N  ->  (
c ( .r `  R ) [_ i  /  k ]_ (
k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
8983, 88eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  N  ->  [_ i  /  k ]_ (
c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9089adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  [_ i  /  k ]_ ( c ( .r
`  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R
) ( i m j ) ) )
9190adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  [_ i  / 
k ]_ ( c ( .r `  R ) ( k m j ) )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9228, 82, 913eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
93 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  c  e.  K )
9493anim1i 578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )
)
9594adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( c  e.  K  /\  m  e.  B ) )
962, 3, 1, 5, 25matvscacell 19538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  K  /\  m  e.  B )  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )  ->  (
i ( c  .*  m ) j )  =  ( c ( .r `  R ) ( i m j ) ) )
9711, 95, 24, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( c  .*  m
) j )  =  ( c ( .r
`  R ) ( i m j ) ) )
9892, 97eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  (
i  e.  N  /\  j  e.  N )
)  ->  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
9998ralrimivva 2814 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) )
10014ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  A  e.  Ring )
10121adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B )
1023, 26ringcl 17872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  (
c  .*  ( 1r
`  A ) )  e.  B  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
103100, 101, 54, 102syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  e.  B )
10412ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
1051, 2, 3, 5matvscl 19533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( c  e.  K  /\  m  e.  B
) )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
106104, 94, 105syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
c  .*  m )  e.  B )
1072, 3eqmat 19526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  e.  B  /\  ( c  .*  m
)  e.  B )  ->  ( ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
)  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i ( ( c  .*  ( 1r
`  A ) ) 
.X.  m ) j )  =  ( i ( c  .*  m
) j ) ) )
108103, 106, 107syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
)  =  ( c  .*  m )  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i
( ( c  .*  ( 1r `  A
) )  .X.  m
) j )  =  ( i ( c  .*  m ) j ) ) )
10999, 108mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  (
( c  .*  ( 1r `  A ) ) 
.X.  m )  =  ( c  .*  m
) )
1109, 109sylan9eqr 2527 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K
)  /\  m  e.  B )  /\  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) ) )  -> 
( C  .X.  m
)  =  ( c  .*  m ) )
111110ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  /\  m  e.  B )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m
) ) )
112111ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S )  /\  c  e.  K )  ->  ( C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
113112reximdva 2858 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  ( E. c  e.  K  C  =  ( c  .*  ( 1r `  A
) )  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) ) )
1148, 113mpd 15 1  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  C  e.  S
)  ->  E. c  e.  K  A. m  e.  B  ( C  .X.  m )  =  ( c  .*  m ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Fincfn 7587   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   .scvsca 15272   0gc0g 15416    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   1rcur 17813   Ringcrg 17858   Mat cmat 19509   ScMat cscmat 19591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510  df-scmat 19593
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator