Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matvscacell 20061
 Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusgcell.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matvscacell.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matvscacell.v · = ( ·𝑠𝐴)
matvscacell.t × = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
matvscacell ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusgcell.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 matvscacell.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 matvscacell.v . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐴)
5 matvscacell.t . . . . 5 × = (.r𝑅)
6 eqid 2610 . . . . 5 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 20053 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌))
87oveqd 6566 . . 3 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
983ad2ant2 1076 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽))
10 df-ov 6552 . . 3 (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
1110a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)𝐽) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩))
12 opelxpi 5072 . . . 4 ((𝐼𝑁𝐽𝑁) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
13123ad2ant3 1077 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁))
141, 2matrcl 20037 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1514simpld 474 . . . . . . 7 (𝑌𝐵𝑁 ∈ Fin)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
17163ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
18 xpfi 8116 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1917, 17, 18syl2anc 691 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
20 simp2l 1080 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑋𝐾)
212eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2221biimpi 205 . . . . . . . 8 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
2322adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑋𝐾𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
24233ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐴))
25 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
271, 26matbas2 20046 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2817, 25, 27syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
2924, 28eleqtrrd 2691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
30 elmapfn 7766 . . . . 5 (𝑌 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
3129, 30syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝑌 Fn (𝑁 × 𝑁))
32 df-ov 6552 . . . . . 6 (𝐼𝑌𝐽) = (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩)
3332eqcomi 2619 . . . . 5 (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽)
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑌‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝐼𝑌𝐽))
3519, 20, 31, 34ofc1 6818 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (𝑁 × 𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
3613, 35mpdan 699 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑋}) ∘𝑓 × 𝑌)‘⟨𝐼, 𝐽⟩) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
379, 11, 363eqtrd 2648 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐾𝑌𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼(𝑋 · 𝑌)𝐽) = (𝑋 × (𝐼𝑌𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  Ringcrg 18370   Mat cmat 20032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033 This theorem is referenced by:  dmatscmcl  20128  scmatscmide  20132  scmatscm  20138  mat2pmatlin  20359  monmatcollpw  20403  pmatcollpwlem  20404  chpmat1dlem  20459  chpdmatlem2  20463  chpdmatlem3  20464
 Copyright terms: Public domain W3C validator