Theorem elmapfn 7766

Description: A mapping is a function with the appropriate domain. (Contributed by AV, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elmapfn	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Proof of Theorem elmapfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7765	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶⟶𝐵)
2		ffn 5958	. 2 ⊢ (𝐴:𝐶⟶𝐵 → 𝐴 Fn 𝐶)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝐴 Fn 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-map 7746

This theorem is referenced by:  mapxpen  8011  fsuppmapnn0fiublem  12651  fsuppmapnn0fiub  12652  fsuppmapnn0fiubOLD  12653  fsuppmapnn0fiub0  12655  suppssfz  12656  fsuppmapnn0ub  12657  frlmbas  19918  frlmsslsp  19954  eqmat  20049  matplusgcell  20058  matsubgcell  20059  matvscacell  20061  cramerlem1  20312  tmdgsum  21709  matmpt2  29197  1smat1  29198  unccur  32562  matunitlindflem1  32575  matunitlindflem2  32576  poimirlem4  32583  poimirlem5  32584  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem16  32595  poimirlem19  32598  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  broucube  32613  rfovcnvf1od  37318  dssmapnvod  37334  dssmapntrcls  37446  k0004lem3  37467  unirnmap  38395  unirnmapsn  38401  ssmapsn  38403  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem3  38838  rrxsnicc  39196  ioorrnopnlem  39200  ovnsubaddlem1  39460  hoiqssbllem1  39512  iccpartrn  39968  iccpartf  39969  iccpartnel  39976  mndpsuppss  41946  mndpfsupp  41951  dflinc2  41993  lincsum  42012  lincresunit2  42061