Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matvscacell Structured version   Unicode version

Theorem matvscacell 31044
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvscacell.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvscacell.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvscacell.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
matvscacell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 matvscacell.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 matvscacell.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  A )
5 matvscacell.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 18464 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )
87oveqd 6220 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( I ( X 
.x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J ) )
983ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) J ) )
10 df-ov 6206 . . 3  |-  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) `  <. I ,  J >. )
1110a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) `  <. I ,  J >. ) )
12 opelxpi 4982 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
13123ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )
141, 2matrcl 18447 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1514simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
17163ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
18 xpfi 7697 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
20 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
21203ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  K )
222eleq2i 2532 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2322biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
2423adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
25243ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
26 simp1 988 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
27 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
281, 27matbas2 18457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
2917, 26, 28syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
3025, 29eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
31 elmapfn 7348 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
3230, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
33 df-ov 6206 . . . . . 6  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
3433eqcomi 2467 . . . . 5  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
3619, 21, 32, 35ofc1 6456 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
3713, 36mpdan 668 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
389, 11, 373eqtrd 2499 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3988   <.cop 3994    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14296   .rcmulr 14362   .scvsca 14365   Ringcrg 16778   Mat cmat 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mat 18417
This theorem is referenced by:  scmatel  31045  mat2pmatlin  31247  monmatcollpw  31289  pmatcollpwlem  31290  chpmat1dlem  31344  chpdmatlem2  31348  chpdmatlem3  31349
  Copyright terms: Public domain W3C validator