Theorem matvscacell 19461

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	|- A = ( N Mat R )
matplusgcell.b	|- B = ( Base ` A )
matvscacell.k	|- K = ( Base ` R )
matvscacell.v	|- .x. = ( .s ` A )
matvscacell.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		matplusgcell.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		matvscacell.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		matvscacell.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` A )
5		matvscacell.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` R )
6		eqid 2451	. . . . 5 |- ( N X. N ) = ( N X. N )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 19453	. . . 4 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) )
8	7	oveqd 6307	. . 3 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
9	8	3ad2ant2 1030	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
10		df-ov 6293	. . 3 |- ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) )
12		opelxpi 4866	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
13	12	3ad2ant3 1031	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
14	1, 2	matrcl 19437	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
15	14	simpld 461	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> N e. Fin )
16	15	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> N e. Fin )
17	16	3ad2ant2 1030	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> N e. Fin )
18		xpfi 7842	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. Fin )
19	17, 17, 18	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( N X. N ) e. Fin )
20		simp2l 1034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> X e. K )
21	2	eleq2i 2521	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` A ) )
22	21	biimpi 198	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> Y e. ( Base ` A ) )
23	22	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` A ) )
24	23	3ad2ant2 1030	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
25		simp1 1008	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> R e. Ring )
26		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	1, 26	matbas2 19446	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
28	17, 25, 27	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
29	24, 28	eleqtrrd 2532	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
30		elmapfn 7494	. . . . 5 |- ( Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
31	29, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
32		df-ov 6293	. . . . . 6 |- ( I Y J ) = ( Y ` <. I , J >. )
33	32	eqcomi 2460	. . . . 5 |- ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J ) )
35	19, 20, 31, 34	ofc1 6554	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
36	13, 35	mpdan 674	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
37	9, 11, 36	3eqtrd 2489	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   {csn 3968   <.cop 3974   X. cxp 4832   Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   oFcof 6529   ^m cmap 7472   Fincfn 7569   Basecbs 15121   .rcmulr 15191   .scvsca 15194   Ringcrg 17780   Mat cmat 19432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-prds 15346  df-pws 15348  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mat 19433

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  19528  scmatscmide  19532  scmatscm  19538  mat2pmatlin  19759  monmatcollpw  19803  pmatcollpwlem  19804  chpmat1dlem  19859  chpdmatlem2  19863  chpdmatlem3  19864