Theorem matvscacell 19448

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	|- A = ( N Mat R )
matplusgcell.b	|- B = ( Base ` A )
matvscacell.k	|- K = ( Base ` R )
matvscacell.v	|- .x. = ( .s ` A )
matvscacell.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		matplusgcell.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		matvscacell.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		matvscacell.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` A )
5		matvscacell.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` R )
6		eqid 2422	. . . . 5 |- ( N X. N ) = ( N X. N )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 19440	. . . 4 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) )
8	7	oveqd 6319	. . 3 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
9	8	3ad2ant2 1027	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
10		df-ov 6305	. . 3 |- ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) )
12		opelxpi 4882	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
13	12	3ad2ant3 1028	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
14	1, 2	matrcl 19424	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
15	14	simpld 460	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> N e. Fin )
16	15	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> N e. Fin )
17	16	3ad2ant2 1027	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> N e. Fin )
18		xpfi 7845	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. Fin )
19	17, 17, 18	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( N X. N ) e. Fin )
20		simp2l 1031	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> X e. K )
21	2	eleq2i 2500	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` A ) )
22	21	biimpi 197	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> Y e. ( Base ` A ) )
23	22	adantl 467	. . . . . . 7 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` A ) )
24	23	3ad2ant2 1027	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
25		simp1 1005	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> R e. Ring )
26		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	1, 26	matbas2 19433	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
28	17, 25, 27	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
29	24, 28	eleqtrrd 2513	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
30		elmapfn 7499	. . . . 5 |- ( Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
31	29, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
32		df-ov 6305	. . . . . 6 |- ( I Y J ) = ( Y ` <. I , J >. )
33	32	eqcomi 2435	. . . . 5 |- ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J ) )
35	19, 20, 31, 34	ofc1 6565	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
36	13, 35	mpdan 672	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
37	9, 11, 36	3eqtrd 2467	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   {csn 3996   <.cop 4002   X. cxp 4848   Fn wfn 5593   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   oFcof 6540   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   Basecbs 15109   .rcmulr 15179   .scvsca 15182   Ringcrg 17768   Mat cmat 19419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-prds 15334  df-pws 15336  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-dsmm 19282  df-frlm 19297  df-mat 19420

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  19515  scmatscmide  19519  scmatscm  19525  mat2pmatlin  19746  monmatcollpw  19790  pmatcollpwlem  19791  chpmat1dlem  19846  chpdmatlem2  19850  chpdmatlem3  19851