Theorem matvscacell 18811

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	|- A = ( N Mat R )
matplusgcell.b	|- B = ( Base ` A )
matvscacell.k	|- K = ( Base ` R )
matvscacell.v	|- .x. = ( .s ` A )
matvscacell.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		matplusgcell.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		matvscacell.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		matvscacell.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` A )
5		matvscacell.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` R )
6		eqid 2443	. . . . 5 |- ( N X. N ) = ( N X. N )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 18803	. . . 4 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) )
8	7	oveqd 6298	. . 3 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
9	8	3ad2ant2 1019	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
10		df-ov 6284	. . 3 |- ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) )
12		opelxpi 5021	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
13	12	3ad2ant3 1020	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
14	1, 2	matrcl 18787	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> N e. Fin )
16	15	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> N e. Fin )
17	16	3ad2ant2 1019	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> N e. Fin )
18		xpfi 7793	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. Fin )
19	17, 17, 18	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( N X. N ) e. Fin )
20		simp2l 1023	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> X e. K )
21	2	eleq2i 2521	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` A ) )
22	21	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> Y e. ( Base ` A ) )
23	22	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` A ) )
24	23	3ad2ant2 1019	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
25		simp1 997	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> R e. Ring )
26		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
27	1, 26	matbas2 18796	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
28	17, 25, 27	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
29	24, 28	eleqtrrd 2534	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
30		elmapfn 7443	. . . . 5 |- ( Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
31	29, 30	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
32		df-ov 6284	. . . . . 6 |- ( I Y J ) = ( Y ` <. I , J >. )
33	32	eqcomi 2456	. . . . 5 |- ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J )
34	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J ) )
35	19, 20, 31, 34	ofc1 6548	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
36	13, 35	mpdan 668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
37	9, 11, 36	3eqtrd 2488	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020   X. cxp 4987   Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   oFcof 6523   ^m cmap 7422   Fincfn 7518   Basecbs 14509   .rcmulr 14575   .scvsca 14578   Ringcrg 17072   Mat cmat 18782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-pws 14724  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mat 18783

This theorem is referenced by:  dmatscmcl  18878  scmatscmide  18882  scmatscm  18888  mat2pmatlin  19109  monmatcollpw  19153  pmatcollpwlem  19154  chpmat1dlem  19209  chpdmatlem2  19213  chpdmatlem3  19214