MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Unicode version

Theorem matvscacell 19448
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvscacell.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvscacell.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvscacell.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
matvscacell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 matvscacell.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 matvscacell.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  A )
5 matvscacell.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 19440 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )
87oveqd 6319 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( I ( X 
.x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J ) )
983ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) J ) )
10 df-ov 6305 . . 3  |-  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) `  <. I ,  J >. )
1110a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) `  <. I ,  J >. ) )
12 opelxpi 4882 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
13123ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )
141, 2matrcl 19424 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1514simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1615adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
17163ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
18 xpfi 7845 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
20 simp2l 1031 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  K )
212eleq2i 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2221biimpi 197 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
2322adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
24233ad2ant2 1027 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
25 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
26 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
271, 26matbas2 19433 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
2817, 25, 27syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2924, 28eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30 elmapfn 7499 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
3129, 30syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
32 df-ov 6305 . . . . . 6  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
3332eqcomi 2435 . . . . 5  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
3519, 20, 31, 34ofc1 6565 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
3613, 35mpdan 672 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
379, 11, 363eqtrd 2467 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   {csn 3996   <.cop 4002    X. cxp 4848    Fn wfn 5593   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    oFcof 6540    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   Basecbs 15109   .rcmulr 15179   .scvsca 15182   Ringcrg 17768   Mat cmat 19419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-ot 4005  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-prds 15334  df-pws 15336  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-dsmm 19282  df-frlm 19297  df-mat 19420
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  19515  scmatscmide  19519  scmatscm  19525  mat2pmatlin  19746  monmatcollpw  19790  pmatcollpwlem  19791  chpmat1dlem  19846  chpdmatlem2  19850  chpdmatlem3  19851
  Copyright terms: Public domain W3C validator