Theorem matvscacell 31044

Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusgcell.a	|- A = ( N Mat R )
matplusgcell.b	|- B = ( Base ` A )
matvscacell.k	|- K = ( Base ` R )
matvscacell.v	|- .x. = ( .s ` A )
matvscacell.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
matvscacell	|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusgcell.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
2		matplusgcell.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
3		matvscacell.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
4		matvscacell.v	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` A )
5		matvscacell.t	. . . . 5 |- .X. = ( .r ` R )
6		eqid 2454	. . . . 5 |- ( N X. N ) = ( N X. N )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	matvsca2 18464	. . . 4 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) )
8	7	oveqd 6220	. . 3 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
9	8	3ad2ant2 1010	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) )
10		df-ov 6206	. . 3 |- ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) J ) = ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) )
12		opelxpi 4982	. . . 4 |- ( ( I e. N /\ J e. N ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
13	12	3ad2ant3 1011	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> <. I , J >. e. ( N X. N ) )
14	1, 2	matrcl 18447	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
15	14	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> N e. Fin )
16	15	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> N e. Fin )
17	16	3ad2ant2 1010	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> N e. Fin )
18		xpfi 7697	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. Fin )
19	17, 17, 18	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( N X. N ) e. Fin )
20		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> X e. K )
21	20	3ad2ant2 1010	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> X e. K )
22	2	eleq2i 2532	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. B <-> Y e. ( Base ` A ) )
23	22	biimpi 194	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> Y e. ( Base ` A ) )
24	23	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> Y e. ( Base ` A ) )
25	24	3ad2ant2 1010	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
26		simp1 988	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> R e. Ring )
27		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
28	1, 27	matbas2 18457	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
29	17, 26, 28	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
30	25, 29	eleqtrrd 2545	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
31		elmapfn 7348	. . . . 5 |- ( Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
32	30, 31	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y Fn ( N X. N ) )
33		df-ov 6206	. . . . . 6 |- ( I Y J ) = ( Y ` <. I , J >. )
34	33	eqcomi 2467	. . . . 5 |- ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J )
35	34	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( Y ` <. I , J >. ) = ( I Y J ) )
36	19, 21, 32, 35	ofc1 6456	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) /\ <. I , J >. e. ( N X. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
37	13, 36	mpdan 668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF .X. Y ) ` <. I , J >. ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )
38	9, 11, 37	3eqtrd 2499	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. K /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .x. Y ) J ) = ( X .X. ( I Y J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3988   <.cop 3994   X. cxp 4949   Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   oFcof 6431   ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14296   .rcmulr 14362   .scvsca 14365   Ringcrg 16778   Mat cmat 18415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mat 18417

This theorem is referenced by:  scmatel  31045  mat2pmatlin  31247  monmatcollpw  31289  pmatcollpwlem  31290  chpmat1dlem  31344  chpdmatlem2  31348  chpdmatlem3  31349