MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matvscacell Structured version   Unicode version

Theorem matvscacell 18811
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvscacell.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvscacell.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvscacell.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
matvscacell  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matvscacell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 matvscacell.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 matvscacell.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  A )
5 matvscacell.t . . . . 5  |-  .X.  =  ( .r `  R )
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( N  X.  N )  =  ( N  X.  N
)
71, 2, 3, 4, 5, 6matvsca2 18803 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) )
87oveqd 6298 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( I ( X 
.x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J ) )
983ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) J ) )
10 df-ov 6284 . . 3  |-  ( I ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) `  <. I ,  J >. )
1110a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)  oF  .X.  Y ) J )  =  ( ( ( ( N  X.  N
)  X.  { X } )  oF 
.X.  Y ) `  <. I ,  J >. ) )
12 opelxpi 5021 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  -> 
<. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )
13123ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )
141, 2matrcl 18787 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1514simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
17163ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  N  e.  Fin )
18 xpfi 7793 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
20 simp2l 1023 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  X  e.  K )
212eleq2i 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  <->  Y  e.  ( Base `  A )
)
2221biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  A ) )
24233ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( Base `  A
) )
25 simp1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  R  e.  Ring )
26 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
271, 26matbas2 18796 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
2817, 25, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2924, 28eleqtrrd 2534 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
30 elmapfn 7443 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
3129, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
32 df-ov 6284 . . . . . 6  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
3332eqcomi 2456 . . . . 5  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
3519, 20, 31, 34ofc1 6548 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  /\  <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
3613, 35mpdan 668 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  oF  .X.  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
379, 11, 363eqtrd 2488 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N
) )  ->  (
I ( X  .x.  Y ) J )  =  ( X  .X.  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020    X. cxp 4987    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   Basecbs 14509   .rcmulr 14575   .scvsca 14578   Ringcrg 17072   Mat cmat 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-pws 14724  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mat 18783
This theorem is referenced by:  dmatscmcl  18878  scmatscmide  18882  scmatscm  18888  mat2pmatlin  19109  monmatcollpw  19153  pmatcollpwlem  19154  chpmat1dlem  19209  chpdmatlem2  19213  chpdmatlem3  19214
  Copyright terms: Public domain W3C validator