MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat1dlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat1dlem 20459
Description: Lemma for chpmat1d 20460. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpmat1d.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpmat1d.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpmat1d.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpmat1d.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpmat1d.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpmat1d.z = (-g𝑃)
chpmat1d.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpmat1dlem.g 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpmat1dlem.x 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat1dlem ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))

Proof of Theorem chpmat1dlem
StepHypRef Expression
1 chpmat1d.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19439 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4 snfi 7923 . . . . . . . . . . 11 {𝐼} ∈ Fin
5 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = {𝐼} → (𝑁 ∈ Fin ↔ {𝐼} ∈ Fin))
64, 5mpbiri 247 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = {𝐼} → 𝑁 ∈ Fin)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
82, 7anim12i 588 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉)) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
983adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin))
109ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
11 chpmat1dlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matlmod 20054 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ LMod)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ LMod)
14 chpmat1d.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
16 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1714, 15, 16vr1cl 19408 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
18173ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
1973ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
20 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (Poly1𝑅) ∈ V
211oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2211, 21eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑁 Mat (Poly1𝑅))
2322matsca2 20045 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ V) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2419, 20, 23sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Poly1𝑅) = (Scalar‘𝐺))
2524eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Scalar‘𝐺) = (Poly1𝑅))
2625fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Poly1𝑅)))
2718, 26eleqtrrd 2691 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)))
2811matring 20068 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐺 ∈ Ring)
2910, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Ring)
30 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝐺) = (1r𝐺)
3230, 31ringidcl 18391 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Ring → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3329, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
3413, 27, 333jca 1235 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)))
35 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐺)
36 eqid 2610 . . . . 5 ( ·𝑠𝐺) = ( ·𝑠𝐺)
37 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐺)) = (Base‘(Scalar‘𝐺))
3830, 35, 36, 37lmodvscl 18703 . . . 4 ((𝐺 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐺)) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
3934, 38syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺))
40 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
41 simp3 1056 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
4219, 40, 413jca 1235 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
43 chpmat1dlem.x . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
44 chpmat1d.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 chpmat1d.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4643, 44, 45, 1, 11mat2pmatbas 20350 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
4742, 46syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺))
48 snidg 4153 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼 ∈ {𝐼})
50 eleq2 2677 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝐼} → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼}))
5249, 51mpbird 246 . . . . 5 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑁)
53 id 22 . . . . 5 (𝐼𝑁𝐼𝑁)
5452, 53jccir 560 . . . 4 ((𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
55543ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼𝑁𝐼𝑁))
56 eqid 2610 . . . 4 (-g𝐺) = (-g𝐺)
57 chpmat1d.z . . . 4 = (-g𝑃)
5811, 30, 56, 57matsubgcell 20059 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
593, 39, 47, 55, 58syl121anc 1323 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)))
60 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6114, 1, 60vr1cl 19408 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
62613ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 30, 60, 36, 63matvscacell 20061 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
653, 62, 33, 55, 64syl121anc 1323 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)))
66 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
67 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
68523ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼𝑁)
6911, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31mat1ov 20073 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)))
70 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → 𝐼 = 𝐼)
7170iftrued 4044 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → if(𝐼 = 𝐼, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (1r𝑃))
7269, 71eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(1r𝐺)𝐼) = (1r𝑃))
7372oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(𝐼(1r𝐺)𝐼)) = (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)))
7460, 63, 66ringridm 18395 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
753, 62, 74syl2anc 691 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(1r𝑃)) = 𝑋)
7665, 73, 753eqtrd 2648 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) = 𝑋)
77 chpmat1d.s . . . . 5 𝑆 = (algSc‘𝑃)
7843, 44, 45, 1, 77mat2pmatvalel 20349 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐼𝑁𝐼𝑁)) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
7942, 55, 78syl2anc 691 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼(𝑇𝑀)𝐼) = (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼)))
8076, 79oveq12d 6567 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐼(𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))𝐼) (𝐼(𝑇𝑀)𝐼)) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
8159, 80eqtrd 2644 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 = {𝐼} ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑀𝐵) → (𝐼((𝑋( ·𝑠𝐺)(1r𝐺))(-g𝐺)(𝑇𝑀))𝐼) = (𝑋 (𝑆‘(𝐼𝑀𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  {csn 4125  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368   Mat cmat 20032   matToPolyMat cmat2pmat 20328   CharPlyMat cchpmat 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mat2pmat 20331
This theorem is referenced by:  chpmat1d  20460
  Copyright terms: Public domain W3C validator