MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpmat0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpmat0d 20458
Description: The characteristic polynomial of the empty matrix. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
chpmat0.c 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpmat0d (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))

Proof of Theorem chpmat0d
StepHypRef Expression
1 0fin 8073 . . . 4 ∅ ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ Fin)
3 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
4 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
54snid 4155 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
6 mat0dimbas0 20091 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
75, 6syl5eleqr 2695 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8 chpmat0.c . . . 4 𝐶 = (∅ CharPlyMat 𝑅)
9 eqid 2610 . . . 4 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10 eqid 2610 . . . 4 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
11 eqid 2610 . . . 4 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
12 eqid 2610 . . . 4 (∅ Mat (Poly1𝑅)) = (∅ Mat (Poly1𝑅))
13 eqid 2610 . . . 4 (∅ maDet (Poly1𝑅)) = (∅ maDet (Poly1𝑅))
14 eqid 2610 . . . 4 (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
15 eqid 2610 . . . 4 (var1𝑅) = (var1𝑅)
16 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
17 eqid 2610 . . . 4 (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
18 eqid 2610 . . . 4 (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18chpmatval 20455 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
202, 3, 7, 19syl3anc 1318 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2111ply1ring 19439 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
22 mdet0pr 20217 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (∅ maDet (Poly1𝑅)) = {⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩})
2322fveq1d 6105 . . . 4 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2421, 23syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))))
2512mat0dimid 20093 . . . . . . . . . 10 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2621, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
2726oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
28 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
2915, 11, 28vr1cl 19408 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3012mat0dimscm 20094 . . . . . . . . 9 (((Poly1𝑅) ∈ Ring ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3121, 29, 30syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = ∅)
3227, 31eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ∅)
33 d0mat2pmat 20362 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)
3432, 33oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅))
3512matring 20068 . . . . . . . . 9 ((∅ ∈ Fin ∧ (Poly1𝑅) ∈ Ring) → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
361, 21, 35sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring)
37 ringgrp 18375 . . . . . . . 8 ((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp)
39 mat0dimbas0 20091 . . . . . . . . 9 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
4021, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = {∅})
415, 40syl5eleqr 2695 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
42 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
43 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))
4442, 43, 14grpsubid 17322 . . . . . . 7 (((∅ Mat (Poly1𝑅)) ∈ Grp ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4538, 41, 44syl2anc 691 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (∅(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))∅) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4634, 45eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅)) = (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))
4746fveq2d 6107 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))))
4812mat0dim0 20092 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
4921, 48syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅))) = ∅)
5049fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅))
51 fvex 6113 . . . . . 6 (1r‘(Poly1𝑅)) ∈ V
524, 51fvsn 6351 . . . . 5 ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅))
5350, 52syl6eq 2660 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(0g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5447, 53eqtrd 2644 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ({⟨∅, (1r‘(Poly1𝑅))⟩}‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5524, 54eqtrd 2644 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((∅ maDet (Poly1𝑅))‘(((var1𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))(1r‘(∅ Mat (Poly1𝑅))))(-g‘(∅ Mat (Poly1𝑅)))((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅))) = (1r‘(Poly1𝑅)))
5620, 55eqtrd 2644 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐶‘∅) = (1r‘(Poly1𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  c0 3874  {csn 4125  cop 4131  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  Basecbs 15695   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368   Mat cmat 20032   maDet cmdat 20209   matToPolyMat cmat2pmat 20328   CharPlyMat cchpmat 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-symg 17621  df-pmtr 17685  df-psgn 17734  df-evpm 17735  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mamu 20009  df-mat 20033  df-mdet 20210  df-mat2pmat 20331  df-chpmat 20451
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator